作业19 空间几何体的表面积与体积-【精彩假期】高一数学暑假作业（人教A版 浙江专版）

作业19　空间几何体的表面积与体积 1．B　2.D　3.C　4.C 5．B　【解析】 不妨设半圆的半径为1，用圆心角为 eq \f(π,3) 的小扇形围成的圆锥的底面圆周长为 eq \f(π,3) ×1＝ eq \f(π,3) ，设其底面圆的半径为r1，则2πr1＝ eq \f(π,3) ，所以r1＝ eq \f(1,6) ，该圆锥的高h1＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(35),6) .用圆心角为 eq \f(2π,3) 的大扇形围成的圆锥的底面圆周长为 eq \f(2π,3) ×1＝ eq \f(2π,3) ，设其底面圆的半径为r2，则2πr2＝ eq \f(2π,3) ，所以r2＝ eq \f(1,3) ，该圆锥的高h2＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(2\r(2),3) .所以h1∶h2＝ eq \r(70) ∶8.故选B. 6. C　【解析】 设正三棱锥底面中心为O，连接OP，延长CO交AB于D，则CD＝ eq \f(3,2) OC. ∵O是三棱锥P­ABC的外接球球心，∴OP＝OC＝1，∴CD＝ eq \f(3,2) ，∴BC＝ eq \r(3) . ∴VP­ABC＝ eq \f(1,3) S△ABC·OP＝ eq \f(1,3) × eq \f(\r(3),4) ×( eq \r(3) )2×1＝ eq \f(\r(3),4) .故选C. 7. C　【解析】 正方体的表面被该球面所截得的弧是相等的三部分，如图所示，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆的周长的 eq \f(1,4) ，所以所求弧的长之和为3× eq \f(2π,4) ＝ eq \f(3π,2) .故选C. 8. D　【解析】 如图所示，由正三棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O′，设外接圆的半径为r，外接球的半径为R， 正三棱锥的外接球的球心在高SO′所在的直线上，设为O，连接OA 得， r＝ eq \f(3,sin \f(π,3)) ，∴r＝2 eq \r(3) ，即O′A＝2 eq \r(3) ，所以三棱锥的高h＝ eq \r(SA2－O′A2) ＝ eq \r(（4\r(3)）2－（2\r(3)）2) ＝6，由勾股定理得，R2＝r2＋(h－R)2，解得R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π.故选D. 9．ABD　【解析】 设圆锥底面圆的圆心为O，连接PO，则圆锥的高h＝ eq \r(PA2－OA2) ＝ eq \r(22－（\r(3)）2) ＝1，故选项A正确；因为圆锥的母线长都相等，所以△PAB为等腰三角形，故选项B正确；设弦AB的长度为2x(0<x≤ eq \r(3) )，弦AB的中点为D，连接OD，PD，PO，则OD2＝3－x2，PD2＝OD2＋PO2＝3－x2＋1＝4－x2，于是△PAB的面积S＝ eq \f(1,2) PD·AB＝ eq \f(1,2) eq \r(4－x2) ·2x＝ eq \r(x2（4－x2）) ≤ eq \f(x2＋4－x2,2) ＝2，当且仅当x＝ eq \r(2) 时取等号，所以△PAB面积的最大值为2，故选项C错误；易知∠PAO就是直线PA与圆锥底面所成的角，且sin ∠PAO＝ eq \f(PO,PA) ＝ eq \f(1,2) ，因此∠PAO＝ eq \f(π,6) ，故选项D正确． 10．AD　【解析】 将该四棱台补全为四棱锥S­ABCD，连接AC，BD相交于点O，连接A1C1，B1D1相交于点O1，连接SO，则SO过点O1，且SO⊥平面ABCD，∴OO1为该四棱台的高． ∵A1B1∥AB，∴ eq \f(A1B1,AB) ＝ eq \f(SA1,SA) ＝ eq \f(\r(2),2\r(2)) ＝ eq \f(1,2) ，∴SA＝4，SA1＝2，由四边形ABCD为正方形且AB＝2 eq \r(2) 可得AO＝2，则A1O1＝1，∴SO＝2 eq \r(3) ，SO1＝ eq \r(3) ，OO1＝ eq \r(3) ，故选项A正确；∵SA＝SC＝4，AC＝4，∴∠ASC＝60°，故选项B不正确；梯形A1B1BA的高为 eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－\r(2),2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(14),2) ，故该四棱台的表面积为 eq \r(2) × eq \r(2) ＋2 eq \r(2) ×2 eq \r(2) ＋4× eq \f(2\r(2)＋\r(2),2)