作业17 正、余弦定理-【精彩假期】高一数学暑假作业（人教A版 浙江专版）

作业17　正、余弦定理 1．D　【解析】 由正弦定理有 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ，故 eq \f(a,b) ＝ eq \f(sin A,sin B) ，故选项A错误； 因为 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，故a sin C＝c sin A，故选项B错误； cos (A＋B)＝－cos C，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C得c2＝a2＋b2＋2ab cos (A＋B)，故选项C错误； 由正弦定理可得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，再根据诱导公式可得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin （A＋B）) ，即a sin (A＋B)＝c sin A，故选项D正确．故选D. 2．D　【解析】 若sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶2∶4，可设a＝3x，b＝2x，c＝4x，由余弦定理推论得，cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(9x2＋4x2－16x2,2·3x·2x) ＝－ eq \f(1,4) .故选D. 3．D　【解析】 由正弦定理及2b sin A＝ eq \r(3) a得，2sin B sin A＝ eq \r(3) sin A，因为sin A≠0， 所以sin B＝ eq \f(\r(3),2) ，故B＝ eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3) . 4．C　【解析】 ∵2sin B＝sin A＋sin C，∴2b＝a＋c.① ∵cos B＝ eq \f(3,5) ，∴ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(3,5) .② ∵B∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π)) ，∴sin B＝ eq \f(4,5) ，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) ac× eq \f(4,5) ＝6，③ 由①②③，解得b＝4. 5．D　【解析】 由正弦定理知， eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ，∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A，又sin(B＋C)＝sin A，∴sin A＝1或0(舍去)，∴A＝90°.∵sin2B＝sin2C， ∴b2＝c2，即b＝c，∴△ABC为等腰直角三角形． 6．A　【解析】由 eq \f(a,c) sin A＋ eq \f(b,c) sin B<sin C可得a sin A＋b sin B<c sin C，由正弦定理可得a2＋b2<c2， 由余弦定理可得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) <0 ， 又0<C<π，所以角C为钝角．故选A. 7．C　【解析】 ∵ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(\r(2),4) bc＝2＋ eq \r(2) ，∴bc＝4＋4 eq \r(2) . 又cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2 ,2bc) ＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋c))\s\up12(2)－2bc－a2,2bc) ＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋3\r(2)))\s\up12(2)－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋4\r(2)))－a2,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋4\r(2)))) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴a＝ eq \r(6) .故选C. 8．C　【解析】 由题得，三角形的面积S＝ eq \f(1,2) · eq \f(\r(3),6) a2＝ eq \f(1,2) bc sin A，∴a2＝2 eq \r(3) bc sin A．∵cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ， 可得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝2 eq \r(3) bc sin A＋2bc cos A， 所以 eq \f(c,b) ＋ eq \f(b,c) ＝ eq \f(b2＋c2,bc) ＝2 eq \r(3) sin A＋2cos A＝ 4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6))) ≤4，所以 eq \f(b,c) ＋ eq \f(c,b) 的最大值为4.故选C. 9．ABD　【解析】 对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC＝ eq