3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-2021-2022学年高中数学必修1【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§6　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学 习 目 标 核 心 素 养 1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点) 2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点) 1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养． 2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养. 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题． (1)三种函数的增长趋势 当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快． 当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快． 当x>0，n>1时，幂函数y＝xn也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快． 思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？ [提示]　指数函数 (2)三种函数的增长对比 对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax. 思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax<xn<an成立？ [提示]　不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax<xn<ax成立． 1．下列函数中，增长速度最快的是 (　　) A．y＝2x　　B．y＝3x　　C．y＝5x　　D．y＝10x D　[四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y＝10x的增长速度最快．] 2．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是 (　　) A．2x>x))>lg x B．2x>lg x>x C．x)>lg x>2x)>2x>lg x D．x [答案]　A 3．如图所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势． [答案]　幂 4．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________． [答案]　a>c>b 指数、对数、幂函数增长趋势的比较 【例1】　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小． [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024， ∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)． ∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2 016. 从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)； 当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数． ∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)． 1．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较 函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 递增 递增 递增 增长的速度 先慢后快 先快后慢 随着n值的 不同而不同 图像的变化 随x的增大 越来越陡 随x的增大 逐渐变缓 随着n值的 不同而不同 2．指数、幂、对数比较大小 (1)常用方法 单调性法、图像法，中间搭桥法、作差(商)法． (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． (3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小． 1.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异．(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较) [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1， C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x<x1时，g(x)>f(x)； 当x1<x<x2时，f(x)>g(x)； 当x>x2时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)． 建立函数模型解决实际问题 【例2】　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三