23.3.3 相似三角形的性质-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

23.3.3相似三角形的性质 基础知识 1．相似三角形的性质。 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例． （2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比. 【提醒】相似三角形的相似比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，只要知道其一，就可知全部． 2．相似三角形的周长比等于相似比． 【注意】两个相似三角形的周长比等于两个个三角形的对应中线（或者高，或者角平分线）的比。 3．相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【注意】相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根． 例题 例．在矩形 中， 于点E，点P是边 上一点，已知 ， （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【分析】 （1）先根据 可得 ，再根据矩形的性质可得 ，然后根据直角三角形的性质可得 ，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质、勾股定理可得 ，再根据三角形的面积公式、勾股定理可得 的长，然后利用（1）中，相似三角形的性质即可得． 【详解】 证明：（1） ， ， ， 四边形 是矩形， ，即 ， 又 ， ， ， 在 和 中， ， ； （2） 四边形 是矩形， ， ， ， ， 在 中， ， 由（1）已证： ， ，即 ， 解得 ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 练习 1．已知 ，且 ， ， ， ，则 的周长为（ ） A． B． C． D． 2．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（ ） A．12米 B．12.5米 C．14米 D．15米 3．如图，在 中， ，则 的长是（ ）． A． B．6 C． D． 4．如图所示，在 中， ， ，在 中， ，点P在 上， 交 于点E， 交 于点F．当 时， 的值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在正方形 和正方形 中，连接 ，则 的值为（ ）． A．1 B． C． D． 6．如图，将矩形 沿直线 折叠，顶点D恰好落在 边上的F处．已知 ，则 （ ） A．13 B．12 C．11 D．10 7．如图所示，D为 边上一点， ， 交 于点E，则 ________． 8．两个等边三角形 和 ，点D在BC上，AC与DE交于点F，BD=4，CD=2，则AF的长为________． 9．如图，在 中， ， 是 边上的高． （1）若 ，则 ________； （2）若 ，则 ________； （3）若 ，则 ________． 10．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、G分别在BC、AB上，将△DCE、△BEG分别沿DE、EG翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段GP长为________． 11．如图， 中， ，将 沿 折叠，使点C落在 边上的 处，并且 ，则 的长是________． 12．如图，点E是▱ABCD边AD的中点，连接AC、BE交于点P，过点P作PQ AD交CD于点Q，若AB＝3，则DQ＝_______． 13．如图， 是 的角平分线，延长 至 ，连结 ，使 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 14．如图,已知正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC于H．BC＝15,AH＝10．求正方形DEFG的边长和面积． 15．如图，在 中，点 在边 上， ， ． ． 的角平分线 交 于点 ． （ ）求证： ； （ ）若 ，求 的长度． 16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC； （2）若 ，且S△DBE＝2，求△ABC的面积． 17．如图，在 中， ，点D是 上的动点，且始终有 ，点E是 与 的交点． （1）证明： ； （2）当 时； ①若 ，求 的长． ②若 ，直接写出 的长为________． 18．如图，四边形 中， 平分 ． 试说明： ； 点 在边 上，连接 交 于点 ，若 ．试说明：点 为 的中点． 参考答案 1．A 【分析】 先求出△ABC的周长，再根据相似三角形的周长的比等于相似比求解即可． 【详解】 解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴△A′B′C′的周长 ∶△ABC的周长=A′C′：AC， ∵A′C′=3cm，BC=5cm，AC=4cm，AB=7cm， ∴△A′B′C′的周长∶（5+4+7）=3：4， ∴