23.3.2 相似三角形的判定-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

23.3.2相似三角形的判定 基础知识 1.相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。 ①对顶角一定是对应角；②公共角一定是对应角；最大或最小的角一定是对应角；③对应角所对的边一定是对应边；④对应边所对的角一定是对应角；⑤对应边所夹的角一定是对应角． 2．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 【注意】把“夹角”换成一边的“对角”就不能判定二个三角形相似。 3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 4.（1）常常先根据相似的判定定理判定两个三角形相似，再得出相似三角形对应角相等，对应边成比例． （2）用文字表达的两个三角形相似和用相似符号表示的两个三角形相似的区别。 用文字表达的两个三角形相似时，三个顶点不一定在对应的位置上，此时要分类讨论，但是如果用相似符号表示，则对应顶点是一定的了。 例题 例．如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知 ． （1）求证： ； （2）若ABCD为平行四边形， ， ，求FD的长度． 【答案】（1）见详解；（2）2 【分析】 （1）利用相似三角形的判定定理，即可得到结论； （2）先证明AD∥BE，利用平行线分线段成比例，列出比例式，即可求解． 【详解】 （1）证明：∵ ，∠AFD=∠EFC， ∴ ； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BE，AB＝CD＝6， ∴AF：EF＝DF：CF， 又∵EF＝2AF， ∴DF：CF＝1：2，即DF＝ DC＝2． 【点睛】 本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 练习 1．如图， 是 边 上一点，添加一个条件后，仍不能使 的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（ ） A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 3．如图，点P是等腰 的腰 上的一点，过点P作直线（不与直线 重合）截 ，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4．如图，小正方形边长为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ） A． B． C． D． 5．下列说法：①任意两个等腰三角形都相似；②任意两个直角三角形都相似；③任意两个等边三角形都相似；④任意两个等腰直角三角形都相似，其中正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 6．如图，在 中，点D，E分别为边 ， 上的点，试添加一个条件：_____，使得 与 相似．（任意写出一个满足条件的即可） 7．如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有_____条． 8．一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形_____（选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似． 9．如图， 是 斜边 上的高， 于 ，则图中与 相似的三角形有_________个． 10．下列各组图形中一定是相似形的是__________（填序号）． （1）两个平行四边形一定相似； （2）两个矩形一定相似； （3）两个正方形一定相似； （4）两个菱形一定相似； （5）两个下底角相等的等腰梯形相似； （6）有一个内角为80°的两个等腰三角形相似； （7）有一个内角为100°的两个等腰三角形相似； （8）等边三角形都相似； （9）直角三角形都相似； （10）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似． 11．如图，在 中，四边形 是平行四边形．求证： ． 12．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC． 13．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：△DEC∽△ADF． 14．如图， 、 、 三点均在边长为1的小正方形网格的格点上． （1）请在 上标出点 ，连接 ，使得 ； （2）试证明上述结论： ． 15．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10． （1）求证：△AEF∽△DFC； （2）求线段EF的长度． 16．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上， ． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）若AB=4，求 的值； （3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．D 【分析】 直接利用相似三