专题10对数与对数函数-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题10对数与对数函数--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 学生应理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题． 二、教学建议 在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。 求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数： 求简单函数的值域中，简单函数指下列函数： ，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。 函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性 质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。 三、自主梳理 1．对数的概念 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④Mn＝logaM． (2)对数的性质（☆☆☆） ①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式（☆☆☆） ①换底公式：logaN＝ (a，c均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad． 3．对数函数的图象与性质（☆☆☆） a>1 0<a<1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x>1时，y>0 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 四、真题感悟 1.（2021全国甲）. 设，，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】, 所以; 下面比较与的大小关系. 记,则,， 由于 所以当0<x<2时，,即,, 所以在上单调递增， 所以,即,即; 令,则,, 由于，在x>0时,, 所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c; 综上，, 故选：B. 2. （2021全国乙卷文）下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 3.【2020·全国Ⅱ卷】若2x−2y<3−x−3−y，则 A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0 【答案】A 【解析】由得：，令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ，，，则A正确，B错误；故CD无法确定. 故选：A． 4.【2020·全国Ⅲ卷】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【解析】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 5．（2017新课标Ⅰ）设为正数，且，则 A．      B．     C．     D． 【答案】D【解析】设，因为为正数，所以，则，，，所以，则，排除A、B；只需比较与，，则，选D． 五、高频考点+重点题型 考点一、指数幂根式的化简运算 例1.（1）化简：＝________． （2）化简：＝________． （3）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于 答案：（1）1 （2）2 （3） 解析：1．原式＝＝＝1． 2．＝23·2log0．54＝8· ＝8·2－log24＝8·＝8·