【导学案】第2课时 全集、补集及综合应用-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）

第2课时 全集、补集及综合应用 学习目标 教材考点 学习目标 核心素养 全集、补集 了解全集、补集的意义，正确理解符号∁UA的含义，会求已知全集条件下集合A的补集 数学抽象、数学运算、直观想象 集合交、并、补的综合运算 会求解集合的交、并、补的集合问题 数学运算、直观想象 与补集相关的参数 值(范围)的求解 能正确利用补集的意义求解一些具体问题 数学运算、直观想象 知识梳理 1．全集 (1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 3.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U． (2)A∩(∁UA)＝∅． (3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A． (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 名师导学 知识点1 集合的补集运算 【例】若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA. (1)S＝R； (2)S＝{x|x≤2}； (3)S＝{x|－4≤x≤1}． 【解】　(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1或x≥1}． (2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1或1≤x≤2}． (3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}． 反思感悟　 求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．　 变式训练 1．(2020·烟台高一检测)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则∁UA＝(　　) A．{1，3}　　　　　　　　　 B．{1，3，5} C．{0，1，3} D．{0，1，3，5} 解析：选C.全集U＝{x|x是小于5的非负整数}＝{0，1，2，3，4}，A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3}．故选C. 2．(2020·平顶山高一联考)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为(　　) A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2} C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2} 解析：选C.借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}． 知识点2 集合的交、并、补混合运算 【例】已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 【解】　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1或x>3}． 又P＝， 所以(∁UB)∪P＝. 又∁UP＝， 所以(A∩B)∩(∁UP) ＝{x|－1<x<2}∩ ＝{x|0<x<2}． 反思感悟　 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．　 变式训练 1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁UB)＝________，B∩(∁UA)________． 解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， A＝{2，3，5，6}，B＝{1，3，4，6，7}， 所以∁UA＝{1，4，7，8}，∁UB＝{2，5，8}． 所以A∩(∁UB)＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}， B∩(∁UA)＝{1，3，4，6，7}∩{1，4，7，8}＝{1，4，7}． 答案：{2，5}　{1，4，7} 2．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)． 解：如图． 因为A＝{x|－2<x<3}， B＝{x|－3≤x≤2}，