2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第2章 直线和圆的方程 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 学习导航 1、 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 2、 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 3、 初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 教学过程 一、直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 例题1 1．直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是（ ） A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】D 【分析】 求出圆心到直线的距离，与半径比较，可得出结果. 【详解】 圆心(1，-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=<3，所以直线与圆相交. 故选：D 二、直线与圆的方程的应用 1、解决实际问题的一般程序： 仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案． 2、用坐标法解决平面几何问题的“三部曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题． 第二步：通过代数运算，解决代数问题． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论． 例题2 2．已知圆M：，过直线l：上任意一点P向圆引切线PA，切点为A，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据题意，可得,当最小时，最小，而当垂直于直线l时最小，求出的最小值，可得答案. 【详解】 由圆M：知圆心，半径， PA与圆M相切， ， 当最小时，最小， 而当垂直于直线l时最小，此时最小值即为圆心到直线的距离d， ， ， 故选：A 3、 圆与圆的位置关系 1、两圆的位置关系及其判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 例题3 3．已知圆和圆，则两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】 分别求得圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】 由圆，即，圆心为，半径， 圆，即，圆心，半径； 可得，则有，所以两圆相交. 故选：C. 课时训练 1．垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别求解两个圆的圆心，圆心连线即为所求. 【详解】 根据题意，圆，其圆心为，则， 圆，其圆心为，则， 垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线的方程为，变形可得； 故选:B. 2．已知点，点，点在圆上，则使得为直角三角形的点的个数为（ ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 分别讨论为直角顶点时的情况，可化为圆与圆和直线与圆的交点个数. 【详解】 可得圆的圆心为，半径为：， 显然，A不可能为直角顶点， 当为直角三角形的直角顶点时，此时相当于以为直径的圆与已知圆的交点个数， 则以为直径的圆的圆心为，半径为3，则圆心距为， ，故两圆相交，这样的有2个； 当为直角三角形的直角顶点时，则点的个数即为与圆的交点个数，显然有2个， 综上，使得为直角三角形的点的个数为4. 故选：D. 3．若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据对称求出圆C的圆心和半径可得答案. 【详解】 由于圆的圆心，半径为1， 圆与圆关于原点对称，故、半径为1， 故圆的方程为：， 故选：A． 4．在平面直角坐标系xOy中，圆经过点，，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线OM与直线关于轴对称，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设圆的圆心坐标为，半径为，根据题意，求得圆心坐标为，半径为，