2.4 圆的方程-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第2章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 学习导航 1、 正确掌握圆的标准方程及其推导过程。 2、 掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。 3、 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程。 4、 正确理解圆的一般方程及其特点。 5、 会求圆的一般方程。 6、 能进行圆的一般方程和标准方程的互化。 教学过程 一、圆的标准方程 1、圆的标准方程： (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 2、点与圆的位置关系： 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 例题1 1．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】 以点为圆心且与轴相切的圆的半径为， 故圆的标准方程是. 故选：C. 二、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 例题2 2．圆的方程为，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据圆的一般方程可求出结果. 【详解】 由可知，， 所以，， 所以圆心为. 故选：D. 课时训练 1．方程表示的图形是半径为的圆，则该圆圆心位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】 根据方程表示的图形是圆，求得的范围，再由圆心为，判断. 【详解】 方程 表示的图形是半径为的圆， ，求得， 故圆心，在第四象限， 故选：D． 2．若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将圆化为标准方程，再将点代入圆列不等式即可. 【详解】 化为标准方程为： 把原点坐标代入圆的方程得: , 解得：, 故选：D. 3．以两点和为直径端点的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求得圆心坐标和圆的半径，即可求得所求圆的标准方程. 【详解】 、，所以，圆的圆心为线段的中点， 圆的半径为， 因此，所求圆的标准方程为. 故选：D. 4．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果. 【详解】 由得， 因此圆心为，半径为， 当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为， 因此圆心到坐标原点的距离为， 即原点在圆外， 根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为. 故选：D. 5．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是（ ） A．9 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】 将圆心代入直线方程可得，再采用基本不等式中“1”的妙用进行常数代换，即可求解 【详解】 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6， 所以圆心为C(0，1)． 因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1. 因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5. 因为b，c>0，所以＋≥2＝4. 当且仅当＝时等号成立． 由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝， c＝时，＋取得最小值9. 故选：A 6．圆关于原点对称的圆的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知圆的方程可得其圆心，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解. 【详解】 由圆，则圆心为，半径， 圆心为关于原点对称点为， 所以圆关于原点对称的圆的方程为. 故选：D 7．以点为圆心，为半径的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由圆的标准方程定义，即得解. 【详解】 由圆的标准方程可得答案为 故选：B 8．已知三点，，，则