2.3 直线的交点坐标与距离公式-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第2章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 学习导航 1、 掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标。 2、 掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。 教学过程 一、两条直线的交点坐标 1、两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 例题1 1．斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果. 【详解】 联立，解得，所以两直线的交点坐标为， 所求直线方程为.整理为. 故选：A 二、两点间的距离公式 1、公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． 2、原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 例题2 2．已知平面上两点，，，则的最小值为（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】 根据题意，平面上两点，，， 则，则有， 则的最小值为， 故选：D. 3、 点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 例题3 3．点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　) A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1 【答案】C 【分析】 将直线方程整理为，可得直线经过定点，由此可得当直线与垂直时的长，并且此时点到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】 直线， 即， 直线是过直线和交点的直线系方程， 由，得， 可得直线经过定点， 当直线与垂直时， 点到直线的距离最大， 的最大值为， 此时轴， 可得直线斜率不存在，即. 故选：C. 课时训练 1．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据两条直线平行可得，求出，再利用两平行线之间的距离即可求解. 【详解】 直线与直线平行， 则，且， 求得，两直线即为直线与直线， 它们之间的距离为， 故选：C． 2．已知定点，点在直线上运动，当线段AB最短时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意得：当直线和直线互相垂直时，线段的距离最短，求出直线方程，联立两条直线方程求解即可. 【详解】 当直线和直线互相垂直时， 线段的距离最短． 即直线 的方程的斜率为， 所以直线的直线方程为． 所以，解得，即． 故选D． 3．某地街道呈现东-西､南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，，，，为报刊零售点.为使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.发行站应确定在格点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，结合绝对值的性质、平均数的意义进行求解即可. 【详解】 设发行站的位置为， 零售点到发行站的距离为， 则， 这五个点的横坐标与纵坐标的平均值分别为： . . 记，.画图可知发行站的位置应该在点附近， 代入附近的点的坐标进行比较可知，在处取得最小值. 故答案为. 故选：D. 4．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ） A．6 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】 把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解． 【详解】 由直线方程变形为：， 由，解得， 所以直线恒经过定点， 故点到直线的距离是， 故选：B. 5．已知的三个顶点，，，若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别过、、三个点，作斜率为的三条直线，在坐标系中作出草图，利用数形结合，可知夹在两条斜率为的平行直线和之间，且此时两平行线之间的距离最小；再利用两条平行直线间的距离公式，即可求出结果． 【详解】 分别过、、三个点，作斜率为的三条直线, ，即; ，即