专题1.15 基本不等式-重难点题型检测-2021-2022学年高一数学举一反三系列（北师大版2019必修第一册）

专题1.15 基本不等式-重难点题型检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2020秋•淄博期末）已知实数x＞3，则的最小值是（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 【解题思路】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【解答过程】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0， 4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 故选：A． 2．（3分）（2021春•温州期末）设a＞0，b＞0，且a+2b＝1，则（　　） A．有最小值为 B．有最小值为6 C．有最小值为 D．有最小值为7 【解题思路】利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解． 【解答过程】解：因为a＞0，b＞0，且a+2b＝1， 则26， 当且仅当且a+2b＝1时取等号，此时取得最小值6． 故选：B． 3．（3分）（2021春•莲池区校级期中）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．6 【解题思路】利用基本不等式可解决此题． 【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，∴当且仅当a＝b＝1时，取等号． 故选：B． 4．（3分）（2021春•浙江月考）已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（　　） A．24 B．313 C．913 D．25 【解题思路】根据等式ab﹣a﹣2b﹣2＝0表示出b，求出a的范围，然后将（a+1）（b+2）中的b消去，再利用基本不等式可求出（a+1）（b+2）的最小值． 【解答过程】解：因为ab﹣a﹣2b﹣2＝0， 所以b，又a＞0，b＞0， 所以0，解得a＞2， 又b1， 所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2 ＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4 ＝3a7＝3（a﹣2）13 ， 当且仅当3（a﹣2）即a＝4时等号成立， 即（a+1）（b+2）的最小值为25． 故选：D． 5．（3分）（2020秋•云南期末）如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（　　） A． B． C．1 D．2 【解题思路】可设两正方形的边长分别为a，b，从而得出a+b＝1，进而得出，从而得出，这样即可得出它们面积之和的最小值． 【解答过程】解：设两正方形的边长分别为a，b，则：a+b＝1，a＞0，b＞0， ∴，当且仅当时取等号， ∴， ∴，当且仅当a＝b时取等号． 故选：B． 6．（3分）（2021•湖南模拟）设正实数a、b满足a+b＝1，则下列说法错误的是（　　） A．有最大值 B．有最小值3 C．a2+b2有最小值 D．有最大值 【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求解． 【解答过程】解：由题意可知，正实数a、b满足a+b＝1， 由基本不等式可得，当且仅当a＝b，等号成立，故A选项正确， 由基本不等式可得， ， 当且仅当a＝b时，等号成立，故B选项错误， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立，故C选项正确， 2（a+b）＝2， 则， 当且仅当a＝b时，等号成立，故D选项正确． 故选：B． 7．（3分）（2021春•秦淮区月考）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D． 【解题思路】斜边即大正方形的边长为，大正方形面积a2+b2，而大正方形面积大于等于四个直角三角形的面积和，可求． 【解答过程】解：因为直角三角形的直角边长分别为a和b， 所以斜边即大正方形的边长为，大正方形面积a2+b2， 由题意得a2+b2≥42ab，当且仅当a＝b时取等号， 故选：B． 8．（3分）（2021春•郑州期末）已知a＞b＞c，若恒成立，则m的最大值为（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 【解题思路】由a＞b＞c，知a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，由，得m≤（a﹣c）（），求出（a﹣c）（）的最小值，可解决此题． 【解答过程】解：由a＞b＞c，知a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0， 由，得m≤（a﹣c）（）， 又∵a﹣c＝a﹣b+b﹣c，∴（a﹣c）（）＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）] ＝55+29，当且仅当， 即b﹣c＝2（a﹣b）时，（a﹣c）（）取得最小值9， ∴m≤9，∴m的最大值为9． 故选：D． 二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分） 9．（4分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知