专题1.14 基本不等式-重难点题型精讲-2021-2022学年高一数学举一反三系列（北师大版2019必修第一册）

专题1.14 基本不等式-重难点题型精讲 1. 两个不等式 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【题型1 对基本不等式的理解】 【方法点拨】 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【例1】（2020秋•东城区校级月考）下列说法中错误的是（　　） A．不等式a+b≥2恒成立 B．若a，b∈R+，则2 C．若a，b∈R+，满足a+2b＝1，则8 D．存在a∈R，使得a2成立 【解题思路】利用特殊值判断选项A，D，利用基本不等式求解最值判断选项B，C． 【解答过程】解：对于A，当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故选项A错误； 对于B，因为a，b∈R+，则，当且仅当a＝b时取等号，故选项B正确； 对于C，因为a＞0，b＞0且a+2b＝1，所以，当且仅当a＝2b时取等号，故选项C正确； 对于D，当a＝1时，a2成立，故选项D正确． 故选：A． 【变式1-1】如果正数a，b，c，d满足a+b＝cd＝4，那么（　　） A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 【解题思路】根据均值不等式分别有：；；则a，b，c，d满足a+b＝cd＝4，进而可得2 化简即得． 当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号． 【解答过程】解：如果a，b是正数，则根据均值不等式有：，则（a+b）2≥4ab 如果c，d是正数，则根据均值不等式有：； 则 ∵a，b，c，d满足a+b＝cd＝4， ∴2 当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号． 化简即为：ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一． 故选：A． 【变式1-2】[多选题]（2020秋•无锡校级月考）下列结论成立的是（　　） A．若a，b∈R，则a10+b10≥2a5b5 B．若x≠0，则x22 C．若，则a＞0，b＞0 D．∃a∈R，使a2+9＜6a 【解题思路】根据题意，结合基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案． 【解答过程】解：对于选项A：∵a10+b10≥22|a5b5|≥2a5b5（当且仅当a＝b时取“＝“），∴选项A正确； 对于选项B：∵当x≠0时，x222（当且仅当x2时取“＝“），∴选项B正确； 对于选项C：当a＝b＝﹣1时满足2，但a＜0，b＜0，∴选项C错误； 对于选项D：∵a2+9﹣6a＝（a﹣3）2≥0，即a2+9≥6a恒成立，∴选项D错误． 故选：AB． 【变式1-3】[多选题]（2020秋•海南期末）下列说法中正确的有（　　） A．不等式恒成立 B．存在a，使得不等式成立 C．若a，b∈（0，+∞），则 D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则 【解题思路】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断． 【解答过程】解：不等式恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确； 当a为负数时，不等式成立．故B正确； 由基本不等式可知C正确； 对于， 当且仅当，即，时取等号，故D正确． 故选：BCD． 【题型2 利用基本不等式证明不等式】 【方法点拨】 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式． 【例2】（2020•南通模拟）设x，y均为正数，且x＞y，求证：． 【解题思路】作差，构建满足基本不等式的条件，利用基本不等式证明即可． 【解答过程】证：∵x＞0，y＞0，x﹣y＞0， ∴，当且仅当x﹣y＝1时取等号， ∴． 【变式2-1】（2021春•海淀区校级期末）若x，y为正实数，求证：4，并说明等号成立的条件． 【解题思路】由a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时，取等号），x+y≥2（当且