暑假复习卷(十一) 单元过关：立体几何与空间向量-【精彩假期】高二数学暑假作业（人教A版 浙江专版）

暑假复习卷(十一) 1．B　2．C　3．C　4．C　5．A 6．C　【解析】 A，B，D说法正确；C说法错误．m⊂α，n∥α⇒m∥n或m与n异面；m⊂α，n∥m⇒n∥α或n⊂α；所以当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的既不充分又不必要条件．故选C. 7．B　【解析】 因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋， 所以2＝＋＋，所以＝＋＋，所以x＝，2y＝，3z＝， 解得x＝，y＝，z＝， 所以x＋y＋z＝＋＋＝，故选B. 8．B　【解析】 连接AC，BD交于点O，连接AQ，SO交于点H，因为AQ，SO为中线，故点H为△ASC的重心，又H∈SO，所以H∈平面SBD，又H∈AQ，所以H∈平面APQR，故H∈平面APQR∩平面SBD，又PR＝平面APQR∩平面SBD，所以点P，H，R共线，因为SP＝SR，所以＝，易知△APQ≌△ARQ，VS­APQR＝2VS­APQ＝2VP­AQS，又＝＝×＝，且VB­SAC＝VS­ABC＝VS­ABCD＝，所以VP­AQS＝，故VS­APQR＝3.故选B. 9．B　【解析】 设AB＝a，BC＝b， 则由题意得：a2＋b2＝(2)2，a2＋22＝x2，b2＋22＝y2， 所以x2＋y2＝32，由基本不等式得：(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝64， 当且仅当x＝y＝4时，x＋y取得最大值8，此时a＝b＝2，AB1＝AD1＝4， 所以B1D1＝AC＝2， 取B1D1的中点T，连接AT，C1T，AC1，如图， 则AT⊥B1D1，C1T⊥B1D1，则∠ATC1就是二面角A­B1D1­C1的平面角， 在等腰三角形AB1D1中，因为AB1＝AD1＝4，B1D1＝2，所以AT＝， 在等腰三角形C1B1D1中，因为C1B1＝C1D1＝2，B1D1＝2，所以C1T＝， 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，求得AC1＝2， 故在三角形AC1T中，由余弦定理的推论得cos ∠ATC1＝＝－，故选B. 10．A　【解析】 连接BC1，则BC1∩B1C＝E，点P，E，F在平面BC1D1中，且BC1⊥C1D1，C1D1＝1，BC1＝，如图1所示， 图1 　　　　图2 在Rt△BC1D1中，以C1D1所在直线为x轴，C1B所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，D1，B，E，设点E关于直线BD1的对称点为E′， ∵BD1的方程为x＋＝1，① ∴kEE′＝－＝， ∴直线EE′的方程为y＝x＋，② 由①②组成方程组，解得 直线EE′与BD1的交点M， ∴对称点E′，∴PE＋PF＝PE′＋PF， 最小值为E′到直线C1D1的距离，为，故选A. 11．3　(1，－1，5)　12．24　48＋12 13．5　50π　【解析】 ∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3， 则这个长方体的体对角线长为：＝5， 故其外接球的直径为5， ∴其外接球的表面积是4π·＝50π. 14．45°　30°　【解析】 设正方体的棱长为2， 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱AA1∥BB1， 则∠B1BC1即为棱AA1与面对角线BC1所成的角， 在Rt△B1BC1中，BB1＝2，B1C1＝2，BC1＝2， 所以∠B1BC1＝45°， 故棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是45°； 连接AC与BD交于点O，则BO⊥AC， 又A1A⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD， 所以BO⊥AA1，又AA1，AC是对角面ACC1A1内两条相交直线， 所以BO⊥平面ACC1A1， 则∠BC1O即为面对角线BC1与对角面ACC1A1所成的角， 在Rt△BOC1中，BO＝，BC1＝2， 所以sin ∠BC1O＝＝， 故面对角线BC1与对角面ACC1A1所成的角为30°. 15．2－　【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0，2，0)，P(0，0，1)，设E(1，y0，0)，则＝(－1，2－y0，0)，0≤y0≤2，＝(0，2，－1). 设平面PEC的法向量为n1＝(x，y，z)， 则即 不妨令y＝1，则x＝2－y0，z＝2，所以n1＝(2－y0，1，2). 因为平面ECD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 所以cos ＝＝＝， 解得y0＝2±，因为E是线段AB上一点，所以y0＝2－，所以当AE＝2－时，二面角P­EC­D为. 16．　【解析】 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，不妨取长方体的中截面EFNM， 中截面的平面图如图所示， ER和ES是圆O的两条切线， 设∠REO＝α，则∠SEO＝α， 因为EF＝AD＝4，EM＝2，MO＝2， 所以∠MEO＝∠OEF＝45°， 因为EFNM是长方体的中截面，故EF⊥A1B1， 所以∠PEF即为二面角P­A1B1­C1的平面角θ， 在