暑假复习卷(十) 单元深化：数列与不等式相关的核心问题-【精彩假期】高二数学暑假作业（人教A版 浙江专版）

暑假复习卷(十) [核心夯实] 1．A　2．A　 3．n　97　【解析】 依题意得，两式相减即得：a2n＋1－a2n－1＝1，即bn＋1－bn＝1，∴是以1为公差的等差数列． 又b1＝a1＝1，所以bn＝1＋×1＝n， 因为S24＝＋＋…＋＝＝144， S31＝a1＋＋＋…＋＝1＋＝241， 所以S31－S24＝97. 4．解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 若S1，S2，S4成等比数列，则S＝S1S4， 又a1＝a，所以(2a＋d)2＝a(4a＋6d)， 解得d＝0或d＝2a， 所以数列{an}的通项公式为an＝a或an＝(2n－1)a. (2)假设存在k(k≥2，k∈N*)，使得ln Sk，ln Sk＋1，ln Sk＋2成等比数列， 则有(ln Sk＋1)2＝ln Sk·ln Sk＋2， 整理可得a2＋adk＋d2k(k＋1)＝0， 当d＝0时，a＝0，则Sk＝Sk＋1＝Sk＋2，不符合题意； 当d≠0时，则有Δ＝－(2k＋k2)·d2＜0，无解， 综上所述，不存在k(k≥2，k∈N*)，使得ln Sk，ln Sk＋1，ln Sk＋2成等比数列． 5．A　【解析】 {an}是正项等比数列，an>0，Tn≠0，n∈N*， 所以由T2 017＝T2 021＝T2 017·a2 018a2 019a2 020a2 021， 得a2 018a2 019a2 020a2 021＝1， 所以a2 018a2 021＝a2 019a2 020＝1，设{an}的公比为q，q≠1， a2 018a2 021＝＝1，a2 019a2 020＝＝1，即a2 021＝q，a2 020＝q， 所以＝＝＝.故选A. 6．　 7．(0，1]　【解析】 设等比数列的公比为q，q>0， 则S3＝a1＋a2＋a3＝a2≤3， 所以a2≤， 因为q＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当q＝1时，等号成立， 所以≤1，所以a2∈(0，1]. 8．解：(1)∵2an＋1an－3an＋1＋an＝0， ∴＝－2，－1＝3， 所以数列是以－1＝3为首项，以3为公比的等比数列， 所以－1＝3n，所以an＝. (2)bn＝(an＋2)＝＝2(n－1)＋＋， ∵＋＜1(n≥2)⇔n2＜(3n＋1)(n－1)⇔(3n＋1)(n－1)－n2＞0， ∵3n＝(1＋2)n≥1＋2n， ∴(3n＋1)(n－1)－n2≥n2－2＞0，n≥2， ∴[bn]＝2(n－1)，n≥2， ∴[b1]＋[b2]＋[b3]＋…＋[bn]＝1＋2×1＋2×2＋…＋2(n－1)＝n2－n＋1≤2 020， ∴n≤45， 即最大正整数n的值为45. 9．D　【解析】 因为Sn＝2an－3n①，当n＝1时，a1＝2a1－3，解得a1＝3， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－3②， ①－②得an＝2an－2an－1－3，即an＝2an－1＋3， 所以an＋3＝2，所以是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋3＝6×2n－1，所以an＝6×2n－1－3， 所以不是等比数列，为递增数列，故A，B不正确， Sn＝6×－3n＝6×2n－3n－6，故选项C不正确，选项D正确． 10．　【解析】 ∵数列{an} 满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)， ∴当n＝1 时，a1＝2；当n≥2 时，a1a2a3…an－1＝2(n－1)2 ，可得an＝22n－1 . ∴＝ ，数列 为等比数列，首项为，公比为 . ∴＋＋…＋＝＝<. ∵对任意n∈N* 都有＋＋…＋<t，则t 的取值范围为. 11．解：(1)∵＋＋…＋＝n，① n≥2时，＋＋…＋＝n－1，② 由①－②得＝1，∴an＝n＋1(n≥2). 当n＝1时，＝1，a1＝2符合an＝n＋1， ∴an＝n＋1(n∈N*)，∵bn＋1－bn＝an＝n＋1， ∴bn＝b1＋＋＋…＋ ＝b1＋a1＋a2＋…＋an－1 ＝1＋2＋…＋n＝. 当n＝1时，b1＝1也符合，∴bn＝. (2)因为cn＝＝＝4， 所以c1＋c2＋…＋cn＝4≤， 1－≤，≥，(n＋1)2≤64， 所以n＋1≤8，即n≤7. 所以满足c1＋c2＋…＋cn≤的最大整数n为7. 12．A　【解析】 ∵x2y2≤，∴x2y2＋x2＋y2＝8≤＋(x2＋y2)(x2＝y2＝2时取等号)，(x2＋y2－4)(x2＋y2＋8)≥0，∴x2＋y2≥4，又x2y2≥0，∴x2＋y2≤8，∴x2＋y2∈[4，8].故选A. 13．A　【解析】 易得＝a－b，故a＝＝＝b－1＋＋2.由a>b>0得故b>1， 所以a≥2＋2＝4，当且仅当b－1＝，即b＝2时等号成立． 14．25　5　【解析】 依题意a，b为正数，且ab＝2a＋2b＋5≥2＋5， 所以ab－4－5≥0，即≥0，解得≥5⇒ab≥25， 当且仅当a＝b＝5时等