微专题05 函数及其表示-【备战2022年高考】数学复习绕不开的重要微专题

微专题5：函数及其表示 【知识精讲】 1.函数的概念：设A、B是两个非空数集，按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 记作：y＝f(x)，x∈A (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (3)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 2.函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tanx的定义域为. 求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解，高考中常以选择题形式出现，难度较低． 3. 相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． ②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数. 【典型例题】 考向1：求函数的定义域 求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 【例1】函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　) A．(0，1) B．[0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【例2】f(x)＝的定义域为(　　) A. B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞) 【例3】(1)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　) A．(－1，1) B. C．(－1，0) D. (2) 函数f(x2－1)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(2x)的定义域为________． 【变式3-1】若函数的定义域是，则函数的定义域为________． 考向2：求函数的解析式 求函数解析式的常见方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可． (2)换元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式，再将t替换为x即可． (3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式． (4)解方程组法：已知关于f(x)与f(或f(－x))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x)． 【例4】（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式. （2）已知，求的解析式， 【例5】(2013·安徽)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________. 【例6】已知，，则的解析式为________． 【例7】已知函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，且，则___________. 【例8】海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表． 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00