第02讲 三角形的高、中线与角平分线-【精准提分】2021-2022学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版，广东专用）

第02讲 三角形的高、中线与角平分线 知识导航 知识精讲 一、三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 思考与交流 （1）三角形有几条高？ （2）三角形的高都在三角形内部吗？ （3）三角形的高怎么画？ （1）每个三角形都有三条高，且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． （2）锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合． （3）画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． 二、三角形的中线 在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心，而且它一定在三角形内部． 三、三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部． 资料卡片——三角形的中心 三角形的中心是一个比较特殊的交点，只有在正三角形中，三角形的重心、内心、外心和垂心全部交于一点时，这个交点才被称为三角形的中心。中心在其他的三角形中是不存在的。 对点训练 题型一：判断/画三角形的高 【例1】（2020·东莞市厚街海月学校八年级期中）下列四个图形中，线段BE表示△ABC的高的是（ ） A． B． C． D． 【变1-1】（2019·东莞外国语学校八年级月考）如图所示，为钝角，于，于，于，中边上的高为（ ） A． B． C． D． 【变1-2】（2019·广州市育才中学八年级期中）△ABC中BC边上的高作法正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二：利用三角形的高求面积 【例2】（2020·惠州市第七中学八年级月考）方格纸中每个小正方形的边长均为，点在小正方形的顶点上． （1）在图中作出边上的高； （2）求出的面积． 【变2-1】（2020·广东中山市·八年级期中）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线. （1）在△BED中作BD边上的高EF. （2）若△ABC的面积为60，BD=5，求EF的长. 【变2-2】（2019·广东深圳市·七年级期中）如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（　　） A． B． C． D． 题型三：利用三角形的高求线段长度 【例3】（2021·广东七年级期末）如图，，其中，，，，，则到距离为（ ） A．3 B．5 C． D． 【变3】（2017·广东八年级月考）如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，AC=13，BD⊥AC于D，则BD=__． 题型四：利用三角形的中线求线段长度 【例4】（2020·永泰县新高博培训学校有限公司九年级月考）如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC＝6，DE＝2，则BD的长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变4-1】（专题14三角形及其全等-备战2021年中考数学考点一遍过（广东专用））如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC． 【变4-2】（2019·肇庆市地质中学八年级月考）如图，已知AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5cm ，AC＝3cm ，则△ABD与△ADC的周长之差为_______. 题型五：利用三角形的中线求面积 【例5】（2021·广东八年级期末）如图，中，、分别是、的中点，若的面积是10，则的面积是（ ） A． B． C．5 D．10 【变5-1】（2019·广东八年级月考）如图所示，已知，D是BC的中点，AE：EB=1：2，则△ADE的面积为（ ） A．4 B．8 C．2 D．6 【变5-2】（2020·湛江市第二十二中学八年级月考）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B． （1）求证：ED∥BC； （2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6． ①求△ABC的面积； ②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积． 题型六：利用三角形的角平分线求其他角 【例6】（2019·广东八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数． 题型七：三角形的高、中线、角平分线综合 【例7】（2020·深圳市龙岗区