专题2.12 一元二次方程的根与系数的关系（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（湘教版）

专题2.12 一元二次方程的根与系数的关系（拓展提高） 一、单选题 1．设a、b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，则a2+ab＋2a＋b的值是（　　） A．2020 B．2021 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=2021、a+b=-1、ab=-2021，将其代入则a2+b2+a+b中即可求出结论． 【详解】解：∵a、b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根， ∴a2+a=2021、a+b=-1、ab=-2021， ∴a2+ab＋2a＋b= a2+ a+ab＋a＋b=2021-2021-1=-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a=2021、a+b=-1、ab=-2021是解题的关键． 2．已知 ，是一元二次方程 两个根，则 的值为（ ） A． B． ． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系 ， ，在原方程中找到一元二次方程的系数 a、b、c就可以求出 的值即可． 【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 两个根， ∴由根与系数的关系得， ， ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 3．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且 ，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据根与系数关系列出方程求解即可． 【详解】解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1•x2＝2． 则由 得， ，即 ． 解得k＝4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 4．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程 的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（　　） A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或25 【答案】A 【分析】分为腰长为4和底边长为4两种情况讨论，再根据韦达定理即可得解． 【详解】解：设底边为a， 分为两种情况：①当腰长是4时， 根据韦达定理：a+4＝10， 解得：a＝6， 即此时底边为6， ②底边为4， 根据韦达定理：2a＝10， 解得a＝5， 所以该等腰三角形的周长是14． 故选：A． 【点睛】本题考查了有关等腰三角形的分类讨论，韦达定理；能够正确的分类讨论是本题的关键. 5．已知双曲线 与直线 交于 ， ，若 ， ，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【分析】根据交点坐标的意义，把问题转化方程，不等式问题判定即可． 【详解】由题意得方程 的两根分别为 ， ， ∴ + = ， EMBED Equation.DSMT4 = ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴k、 异号， ∵ ， ∴ = ， ∵ ， ∴ ＞0， ∵ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ＞0， ∴ ， ∴ ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数关系定理，不等式思想，熟练运用交点坐标的意义，把问题转化为方程问题，不等式问题求解是解题的关键． 6．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（　　）个． ①方程x2+5x+6＝0是倍根方程： ②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程； ③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；②已知条件 ，然后解方程 即可得到正确的结论．③根据 是倍根方程，且且 ， ，得到 ，或 ，从而得到 ， ，进而得到 正确；④利用“倍根方程”的定义进行解答． 【详解】解：①解方程 得： ， ， 方程 不是倍根方程，故①错误； ② ， 解方程 得： ， ， ，故②错误； ③ 是倍根方程，且 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，或 ， ， ， ，故③正确； ④ 方程 是倍根方程， 设 ， ∵3a+b=0， ， ， ，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 二、填空题 7．若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根是_________． 【答案】-2 【分析】把-1代入方程求m，再把m代回方程，解方程即可；或用根与系数关