专题2.10 一元二次方程根的判别式（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（湘教版）

专题2.10 一元二次方程根的判别式（拓展提高） 一、单选题 1．关于 的方程的根的情况，正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况． 【详解】解：∵ ，即x2-5x+3=0 ∴Δ=(-5)2−4×1×3=25-12=13>0， ∴原方程有两个不相等的实数根； 故选择：A 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 2．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据△=1-m＞0得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2-4b+m=0，整体代入，可得y的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴△=1-m＞0， ∴m＜1， ∵b是方程的一个实数根， ∴ ， ∴4b2-4b+m=0， ∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m， ∴m= ， ∴ ＜1， ∴y＞-1， 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系． 3．对于一元二次方程 来说，当 时，方程有两个相等的实数根，若将 的值在 的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：△＝25﹣4c， 当c 时， ∴25﹣4c＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 4．已知关于x的一元二次方程标 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． EMBED Equation.DSMT4 【答案】C 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得： , 解得： 且 ； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 5．小明把分式方程 去分母后得到整式方程 ，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ） A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解 C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解 【答案】C 【分析】解分式方程 去分母后得到整式方程 ，由于 ，得到方程 无实数根，于是得到结论． 【详解】解：∵分式方程 去分母后得到整式方程 ， ， ∴方程 无实数根， ∴方程 无解， 故整式方程不正确，分式方程无解， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键． 6．定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ） A． 且 B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴ ． 整理得， ． ∵方程有两个实数根， ∴判别式 且 ． 由 得， ， 解得， ． ∴k的取值范围是 且 ． 故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 二、填空题 7．已知 是正整数，关于 的方程 有正整数根，则方程的解为：______． 【答案】 【分析】根据方程有根，利用根的判别式求出 的取值范围，再进行分类讨论． 【详解】解： 有正整数根， ， 解得： ， EMBED Equation.DSMT4 是正整数， 或 ， 当 时， ， 解得： ，故不是正整数，不符合题意； 当 时， ， ， ，符合题意； 方程的解为： ， 故答案是： ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据根的情况，利用根的判别式求出参数范围，进行分类讨论解答． 8．如果关于 的一元二次方程 有实数根