专题2.6 解一元二次方程—公式法（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（湘教版）

专题2.6 解一元二次方程—公式法（拓展提高） 一、单选题 1．方程 的根是（　　） A． B． C． ， D． ， 【答案】C 【分析】解一元二次方程即可； 【详解】 ， ， ， ∴ ， ； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 2．如果 和 是非零实数，使得 和 ，那么 的值是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合2个式子可得 ，分 与 两种情况讨论，求出 的值，由 ，求出 的值，相加即可得答案． 【详解】解：根据题意， 则 ， 又由 ， 则有 ， 因为x和y是非零实数，分2种情况讨论： ①当 时，由 得到： ， 变形可得： ，无解； ②当 时，由 得到 ， 变形可得： ， 解可得： 或 ，（舍） 综合可得： ，则 ， ； 故选择：D． 【点睛】本题考查超越方程组解法，因式分解的应用，一元二次方程解法，掌握超越方程组解法，因式分解的应用，一元二次方程的解法，关键是消y后分类讨论． 3． 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案． 【详解】A、 的解为 ，不符合题意； B、 的解为 ，不符合题意； C、 的解为 ，符合题意； D、 的解为 ，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a 2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列哪条线段的长度是方程 的一个根（ ） A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出BF，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴CD=AB=a 在Rt△BCD中，由勾股定理得， ， ∴BF= ， 解方程 得 ， ∴线段BF的长是方程 的一个根． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 5．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，用一元二次方程求根公式得x＝ ，且x＞0，所以x取 ，代入即可求得． 【详解】解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x＝ ，且x2＝x+1， ∴x3+1＝x•x2+1 ＝x（x+1）+1 ＝x2+x+1 ＝（x+1）+x+1 ＝2x+2， ∵x＞0， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是x的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化简后的2x+2中计算出结果． 6．如图，一次函数 与y轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，在直线 上取一点 （点 不与 ， 重合），过点 作 轴，垂足为点 ，连结 ，若 的面积恰好为 ，则满足条件的 点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，分三种情况分析解答：当p在第一象限时，当p在第二象限时，当p在第三象限时． 【详解】解：一次函数 ，令x=0，则y=3；令y=0，则0=2x+3，解得x= ， ∴A(0，3)，B( ，0)， 设p(t，2t+3)，则Q(t，0)， 当p在第一象限时， ， ∴ ，解得t= （负值舍去）， ∴2t+3= ， ∴P( ， )； 当p在第二象限时， ∴ = ，解得t= - ， ∴2t+3= ， ∴P(- ， )； 当p在第三象限时， ， ∴ = ，解得t= （正值舍去）， ∴2t+3= ， ∴P( ， )； 综上所述，P点的坐标共3个， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用． 二、填空题 7．在实数范围内分解因式： ______． 【答案】 【分析】首先根据 求出方程的两个根，然后即可分解因式． 【详解】令 , ∴ , , 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查因式分解，根据方程求出两个解是关键． 8．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为_____． 【答案】-1 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式计算求出m、n的值，再代入计算． 【详解】解：由题意得m-1=2，16+4n=0， 解得m=3，n=-4， ∴ =3-4=-1， 故答案为：-1． 【点睛】此题考查