专题05函数的基本性质 -2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）

专题05 函数的基本性质 专题导航 目录 常考点01 函数的单调性 1 常考点02 函数的奇偶性 4 常考点03 函数的对称性 6 常考点04 函数的周期性 8 常考点05 函数性质的综合运用 10 常考点归纳 常考点01 函数的单调性 【典例1】 1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 2．(2018北京)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【考点总结与提高】 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 4．函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意的，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 【变式演练1】 1．下列函数中，定义域是且为增函数的是 A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 常考点02 函数的奇偶性 【典例2】 1．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　) A． B． C． D． 2．设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是 (　　) A．是偶函数 B．||是奇函数 C．||是奇函数 D．||是奇函数 【考点总结与提高】 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，