第7天 期末专题突破 巧构三角形的中位线解决问题-【学期总复习】2022暑假八年级下册初二数学复习15天(初二升初三衔接)(湘教版)

15天高效复习法 第7天 巧构三角形的中位线解决问题 期末专题突破 专题解读 三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系:(1)位置关系 角形的中位 线平行于第三边;(2)数量关系—三角形的中位线等于第三边长的一半.位置关系可以证明两直线平行, 数量关系可以证明线段的倍分关系 构造三角形中位线常见方法有:(1)已知两边中点,连接两边中点或第三边构造中位线;(2)已知一边 中点,取另一边中点构造三角形的中位线;(3)倍长法构造三角形的中位线;(4)利用角平分线十垂直构造 三角形的中位线 专题演练 √类型1已知两边中点连接两边中点或团变式训练 第三边构诰三角形的中位线 1.(周村区期末)如图,四边形ABCD中,∠A 典例1如图,在四边形 90°,AB=8,AD=6,M,N分别为线段BC,AB ABCD中,对角线AC和BD相交 上的动点(含端点,但点M不与点B重合),E 于点O,AC=BD,M,P,N分别是M F分别为DM,MWN的中点,则EF长度的最大 边AB,BC,CD的中点,Q是MN 值为 的中点.求证:PQ⊥MN 解析】连接PM,PN,由三 角形中位线定理可证明△PMN是等腰三角形,再 由等腰三角形的性质即可证明PQ⊥MN. 答案】证明:连接PM,PN ∵M,P,N分别是边AB,BC D.5 CD的中点,∴AM=BM,BP 2.如图,P是四边形ABCD的对角线BD的中点 CP DN=CN. E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠CBD PM=aAC,PN=÷BD 45°,∠ADB=105°,试探究EF与PF之间的 数量关系,并证明. 又AC=BD,∴PM=PN, ∴P在MN的中垂线上 D F C 又Q是MN的中点,∴PQ⊥ 105%45 【方法点拨】当一个图形中出现具有公共端 点的两条线段的中点时,可以考虑直接连接两中点 (或连接第三边构造三角形),使得中点连线段成为 中位线 39 学期 总复习 八年级数学·下(ⅩJ) √类型2已知边中点取另一边中点构【解析】延长FE到点D,使DE=EF,连接 诰三角形的中位线 AD、BD,判断出△BDF是等腰直角三角形,根据 典例2如图,在四边4 等腰直角三角形的性质可得BD=BF,再求出 形ABCD中,M,N分别是边 Di∠CBF=∠ABD,然后利用“边角边”证明△ABD AD,BC的中点,若AB=10, 和△CBF全等,根据全等三角形对应边相等可得 CD=8,求MN长度的取 AD=CF,再根据三角形的中位线平行于第三边并 值范围 【解析】先取BD的中点E,连接ME,NE,由且等于第三边的一半可得ME=AD,从而得到 三角形的中位线性质得ME=AB,NE=CD,再 ME=÷CF. 由三角形的两边之和大于第三边及两边之差小于第 边,求出MN的取值范围 【答案】证明:如图,延长FE到点D,使DE 答案】解:取BD的中 EF,连接AD,BD 点E,连接ME,NE.由三角形 ∵△BEF为等腰直角三角形, 的中位线性质,可得 ∠BFE=45,BE⊥DF ME=AB=5, NE-LCD B BEEF ∴BE垂直平分DF,DE=BE,A ∴∠BDE=45° 在△EMN中,ME一NE<MN<ME+NE, ∴△BDF是等腰直角三角形, 即MN的取值范围为1<MN<9 ∴BD=BF,∠DBF=9 【方法点拔】当图形中出现中点的时候,如果 ∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°, 没有中位线,应考虑用中位线解决问题,可在三角 ∠ABD+∠ABF=∠DBF=90°, 形的另一边取中点构造中位线 ∴∠CBF=∠ABD 变式训练 AB=BC, 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90 在△ABD和△CBF中,∠ABD=∠CBF, AC=BC=5,点E,F分别在CA,CB BD=BF 上,且CE=CF=1,M,N分别为AF, ∴△ABD≌△CBF(SAS),AD=CF. BE的中点,则MN的长为 ∵M为AF的中点,DE=EF ME是△ADF的中位线, N ∴ME=AD,ME=CF 【方法点拨】当图形中出现有公共端点的两 第3题图 第4题图 边,且连接一边上的中点的线段的另一端在另一边 4.如图,在△ABC中,且O是BC边的中点 ,但不是中点,那么可考虑延长另一边,构造以该 D是AC边上一点,E是AD的中点,直线 线段为中位线的三角形解决问题 交BA的延长线于点G,若AB= 变式训练 5,∠OEC=60,则OE的长度为 5.如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是 √类型3倍长法构诰三角形的中位线 边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分 典例3如图,△ABC中, △ABC的周长,则DE的长是 ∠ABC=90°,BA=BC,△BEF E 为等腰直角三角形,∠BEF 90°,M为AF的