第6天 期末专题突破 用勾股定理解决爬行路径最短问题-【学期总复习】2022暑假八年级下册初二数学复习15天(初二升初三衔接)(湘教版)

15天高效复习法 第6天 用勾股定理解决爬行路径最短问题 期末专题突破 专题解读 与勾股定理有关的爬行路径最值问题可转化为求线段长度的最小值问题,其基本依据在于两点之间 线段最短.如果是求曲面上的最短路径问题,需要通过转化的方法将曲面展开得到一个熟悉的平面图形, 把实际问题转为含有直角三角形的数学模型,通过勾股定理求解. 专题演练 √类型1有关圆蛙体中的爬行问题 路径问题,先将圆柱的侧面展开.已知展开图是 典例1如图,透明无盖的 个矩形,矩形长为圆柱的底面周长,矩形的宽为圆 圆柱形容器(容器厚度忽略不计) 柱的高.找到起点和终点的位置以及两点的水平距 蚂蚁A 的高为12cm,底面周长为10cm, 离和垂直距离(通常水平距离为底面周长的一半), 在容器内壁离容器底部2cm的点 B构造直角三角形,用勾股定理求解. B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正 不变式训练 好在容器外壁,且离容器上沿2cm的点A处,则蚂1.如图,圆柱的底面周长是10cm,圆柱的高为 蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 12cm,BC为圆柱上底面的直径,一只蚂蚁如果 A. 13cm B.2√61 cIm 沿着圆柱的侧面从下底面点A处爬到上底面点 D.2√41cm B处,那么它爬行的最短路程为 解析】将圆柱沿A所在 A 10cm B. lIcm 的高剪开,侧面展开如图所示 cm cm 作点A关于CE的对称点 B A’,连接AB交EC于点F, ∴AF+BF=A'B,此时线段 AB即为蚂蚁爬行的最短路径 由题意可知:A'D=5cm,DC=AE=AE 第1题图 第2题图 2cm,BC=12-2=10(cm), 2.如图,有一圆柱,其高为8cm,它的底面 BD=BC+CD=10-+2-12(cm). 周长为16cm,在圆柱外侧距下底lcm ∴在Rt△A'BD中,A'B=√AD+BD 的A处有一只蚂蚁,它想得到距上底 lcm的B处的食物,则蚂蚁经过的最短距离为 【答案】A cim 【方法点拨】有关圆柱体中蚂蚁爬行的最短 B 12cm C15cm d 8cm 36 第一编期末满分计划 √类型2有关长方体的爬行问题 点B离点C的距离是5cm, 典例2如图,长方体盒子 ∴AC=CD+AD=10+20=30(cm), 的长为15cm,宽为10cm,高为 在直角三角形ABC中,根据勾股定理,得 20cm,点B距离C点5cm,-一只蚂 AB=√AC°+BC=√302+52=5、37(cm) 蚁如果要沿着盒子的表面从点A 到点B ∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm. (1)蚂蚁爬行的最短距离是 (2)盒子底面对角长为√152+102=5√13, (2)若从C处向盒子里面插入一根吸管,要使 当吸管、长方体的高及底面对角线的长正好构 吸管不落入盒子中,吸管应不少于 cm 成直角三角形时,插入盒子内的吸管长度最长, 【解析】(1)①把长方体的右侧表面剪开与前面 则吸管长度为(5√13)2+202=5√29(cm) 这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图1所示 ∴吸管应不少于5√29cm 【答案】(1)25(2)5√29 【方法点拨】有关长方体的爬行问题,一般要 考虑蚂蚁从不同的面经过,会产生三个不同的直角 图1 三角形,需要对三种情况进行分类,通过比较得出 长方体的宽为10cm,高为20cm,点B离点最短的路径 C的距离是5cm, 变式训练 BD=CD+BC=10+5=15(cm) 3.如图,有一长方体容器,AB=3,BC=2,A AD=20cm 4,一只蚂蚁沿长方体的表面,从点C爬到点A 在直角三角形ABD中,根据勾股定理,得 的最短爬行距离是 AB=√BD2+AD=√152+202=25(cm) B.√41 ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面 所在的平面形成一个长方形,如图2所示 E 第3题图 第4题图 长方体的宽为10cm,高为20cm,点B离点4.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,其长AD C的距离是5cm, 80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm.在水面 . BD=CD+BC=20-+5=25(cm) 上紧贴内壁G处有一块面包屑,G在水面线EF AD=10cm. ,且EG=60cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点 在直角三角形ABD中,根据勾股定理,得 沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑.则蚂蚁 AB=√BD+AD=√25+102=5√29(cm) 爬行的最短路线为 ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所 在的平面形成一个长方形,如图3所示 √类型3有关台阶类爬行间题 典例3如图所示的是 个五级台阶,它的宽是5m, 长是10m,高为8m,A和B是 8m D1 C 图3 这个台阶两个相对的端点,A 10m ∵长方体的宽为10cm,高为20cm, 点有一只蚂蚁,想到B点去吃 37 (2)由题意,可得