23.3.1 相似三角形-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

23.3.1相似三角形 基础知识 1、相似三角形的定义及表示 （1）对应角相等、对应边成比例的三角形是相似三角形。 （2）定义中要求有两个条件，缺一不可。前面我们学过，形状相同的图形就是相似的图形，而相似三角形的本质特征就是“具有相同的形状”，它们的大小不一定相等。 （3）相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。如图所示的两个三角形中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， 。即△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，读作“△ABC相似于△A′B′C′”。 （4）用“∽”表示两个三角形相似时，表示对应顶点的字母一定要写在对应的位置上，这样可准确地找出相似三角形的对应角和对应边。在由相似来判断它们的对应角及对应边时，如果其对应项点是按对应位置书写的，那么这个判断就准确而且迅速。如△ABC∽△DEF，则AB、BC、AC就分别与DE、EF、DF相对应，∠A、∠B、∠C就分别与∠D、∠E、∠F相对应。这样就可避免产生混乱和错误。在判断相似三角形的对应边及对应角时，还常用另外一种方法，即：对应角的夹边是对应边。对应边的夹角是对应角。 2.相似比 （1）△ABC∽△A′B′C′时，如果记 ＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比，也叫相似系数。 （2）两个相似三角形的相似比具有顺序性。即：若△ABC与△DEF的相似比k ，则△DEF与△ABC的相似比为1：k。 （3）“全等”是“相似”的特殊情况：全等形是相似比为1的相似形。 3.判定相似三角形的预备定理 （1）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。 （2）在平行四边形中说出相似形的对数。 因为平行四边形有两对平行线，如果再连接对角线，那么就有多组相似形，此时要做到不重复，不遗漏。 （3）相似三角形具有传递性，若△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，则△ABC∽△A2B2C2. 例题 例．如图，平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，连接AE并延长交BC的延长线于F，若 ，AD的长为6，求BF的长及 的值. 【答案】BF=9, . 【解析】 【分析】 根据平行四边形的对边平行且相等的性质可知AD=BC，则 从而求得CF，进而求BF，利用CD∥AB可得△FEC∽△FAB，通过对应边成比例可求得 . 【详解】 ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC 又∵ , AD=6 ∴ ∴CF=3 ∴BF=6+3=9 ∵CD∥AB ∴△FEC∽△FAB ∴ ∵CD=AB ∴ = 【点睛】 本题考查了平四边形的性质，相似三角形的判定及性质，解本题的关键是灵活利用边为媒介将两个知识点结合起来解题. 练习 1．如图， ，且 ，则 与 的相似比为( ) A． B． C． D． 2．如图， 中， ， ， ，则 与 的相似比是（ ） A．3:2 B．2:3 C．3:5 D．5:3 3．如图， ，图中相似三角形共有（ ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 4．如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是（　　） A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m 5．如图，平行四边形 中， 是 的延长线上一点， 与 交于点 ，则图中的相似三角形对数共有（ ） A． 对 B． 对 C． 对 D． 对 6．已知三角形甲各边的比为 ，和它相似的三角形乙的最大边为 ，则三角形乙的最短边为________ . 7．如图， ， ，则 和 的相似比为________. 8．如图，E为▱ABCD的边AD上的一点，且AE:ED=3:2，CE交BD于点F，则DF:BF=______. 9．已知 ∽ ，且相似比 ， 的面积为8，那么 的面积为___________. 10．D、E是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC， AD=2，DB=3，DE=1，则BC=__________. 11．如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证： . 12．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比. 13．如图，一路灯距地面6.4米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米， 求：（1）小方在A处时的影子AB的长；（2）小方行走的路程AC． 参考答案 1．B 【分析】 根据两个相似三角形的相似比等于这两个相似三角形的对应边的比，所以对于这道题， 与 的相似比只要找到