23.2 相似图形-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

23.2相似图形 基础知识 1.相似图形 具有相同形状的图形称为相似形。相似是图形形状之间的一种特殊关系，相似图形之间互相变换常称为相似变换。相似图形的实质是形状相同，对于图形大小、位置并没有什么要求。在识别时，要注意避免漏掉位置不同的相似图形。 【注意】记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上． 2.相似图形的性质与判定 相似多边形对应边成比例，对应角相等。 由相似多边形的性质可得到判定两个多边形是否相似的方法，即如果两个多边形的对应边成比例且对应角相等，那么这两个多边形相似。两个多边形边数不同一定不是相似多边形，仅有对应角相等或仅有对应边都成比例的两个多边形并不一定相似． 3.（1）要注意相似比的顺序性，要审清题意，有些题需要分类讨论。 （2）相似多边形周长比等于相似比，但相似多边形的面积比等于相似比的平方，这点一定要注意. 例题 例．如图，四边形 与四边形 相似，求 的大小和 的长度． 【答案】 ， ， 【分析】 根据相似多边形的定义和四边形的内角和，即可求出 ，然后列出比例式即可得出结论． 【详解】 ∵四边形 与四边形 相似， ． 在四边形 中， ． ∵四边形 与四边形 相似， ， 解得 【点睛】 此题考查的是相似多边形的性质和四边形的内角和，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键． 练习 1．下列图形中不一定相似的是（ ） A．两个矩形 B．两个圆 C．两个正方形 D．两个等边三角形 2．若两个相似多边形的面积比为25：16，则它们的对应边的比是（　　） A．5：4 B．4：5 C．25：16 D．16：25 3．在长8cm，宽6cm的矩形ABCD中，截去一个矩形后，使留下的矩形BEFA与原矩形ABCD相似，那么留下的矩形BEFA面积为（ ）cm2 A．24 B．25 C．26 D．27 4．下列结论①两个全等三角形是相似三角形；②所有正方形都相似；③任意两个等腰三角形都相似；④所有菱形都相似；⑤两个等腰直角三角形相似．其中结论正确的有 　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ） A．70° B．80° C．90° D．120° 6．下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 7．复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为________． 8．如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为__时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似． 9．如果两个相似多边形面积之比为4：9，则它们的边长之比为_______． 10．若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为_________． 11．在一张比例尺为 的地图上，有一块多边形区域的周长是 ，面积是 ，求这个区域的实际周长和面积． 12．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小． 13．如图，一个矩形广场的长 米，宽 米，广场内两条纵向的小路宽为 米，横向的两条小路宽为 米，矩形 ～矩形 ． （1）求 的值； （2）若 ，求矩形 的面积． 14．设四边形 与四边形 是相似的图形，且 与 、 与 、 与 是对应点，已知 ， ，求四边形 的周长． 15．两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积． 参考答案 1．A 【分析】 两个多边形相似，是指边数相同的两个多边形，对应角相等，对应边成比例，根据此定义即可判断． 【详解】 A、两个矩形不一定相似，由于对应边不一定成比例，故符合题意； B、两个圆一定相似，故不满足题意； C、根据两个图形相似的定义，两个正方形相似，故不满足题意； D、根据两个图形相似的定义，两个等边三角形相似，故不满足题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查两个图形的相似，关键是掌握两个图形相似的概念． 2．A 【分析】 根据相似多边形的面积比和相似比的关系可直接进行求解． 【详解】 解：由两个相似多边形的面积比为25：16，则它们的对应边的比是5：4； 故选A． 【点睛】 本题主要考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．