23.1.1 成比例线段-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

23.1.1成比例线段 基础知识 1.线段的比 (1)如果选用同一个长度单位度量两条线段的长度，它们的长度比就是这两条线段的比。 (2)线段的比是线段长度的比，是关于线段比值的运算的结果，是一个没有单位的正数。 (3)比与所选的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位要一致。 2.比例线段、比例中项及黄金分割 (1)对于四条线段，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 要判断四条线段是否成比例，常常先将四条线段的长度单位统一，再按从小到大的顺序排列，将最长线段与最短线段的乘积与中间两条线段的乘积进行比较。 (2)在 （或a：b=c：d）中，比例外项为a，b，比例内项为b，c；而d又称为a，b，c的第四比例项。特殊情况：如果比例中两个比例内项相等，即a∶b=b∶c时，b叫a、c的比例中项。数的比例中项应取两个值，而求线段的比例中项只能取正值。 (4)如果点Ｃ把线段AB分成两条线段AC和BC，且如果 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点。 3.比例性质 （1）比例基本性质： EMBED Equation.3 ；特例： EMBED Equation.3 。 作用：将等积式与比例式互化，一个等积式有八种比例式：由ad=bc，①除以bd得 = ； = ；②除以ab得 = ； = ；③除以ac得 = ； = ；④除以cd得 = ； = 。 比例式变形规律：①单独变换比例的内项或外项。②同时变换比例的内项和外项。③同时交换每个比的前项和后项。 （2）合比性质： EMBED Equation.3 （3）等比性质： EMBED Equation.3 注意：合比性质与等比性质的不同，等比性质的使用条件，并学会用“设比”的方法进行证明。 4.设比值法 如果已知的条件式中出现连等的形式,可通过设其值为参数k,建立分子和分母的关系式,然后经过适当的变形,进一步解决问题。 例题 例．已知，2x＝3y＝5z，求 的值． 【答案】 【分析】 设 ，则 ， ， ，代入代数式化简计算即可． 【详解】 解：设 ， 则 ， ， ， ∴ ． 【点睛】 本题考察比例的基本性质，利用设k法是解题的关键． 练习 1．下面四组线段中，成比例的是（ ） A． ， ， ， B． ， ， ， C． ， ， ， D． ， ， ， 2．已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ） A．4 B．6 C．9 D．36 3．已知 ，下列变形错误的是（ ） A． B． C． D． 4．在比例尺为1∶2000的地图上测得 两地间的图上距离为 ，则 两地间的实际距离为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，若点C是 的黄金分割点， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知 ，则 _______． 7．已知 ，且 ，则 的值为_________． 8．若线段 ， ，则线段 ， 的比例中项为______． 9．已知 ，则 _________． 10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是黄金分割比．著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为 ，则此人的肚脐到足底的长度可能是________（精确到 ）． 11．已知 ，求 和 值． 12．已知 ，求 的值． 13．已知 ，且 ，求 的值． 14．若 ，且 ，求 的值． 15．阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 ，求证： ． 证明：∵ ， ∴ ． ∴ ． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若 ，求 的值； （2）若 ，且a≠b，c≠d，证明 ． 参考答案 1．B 【分析】 根据成比例线段的概念逐项判断即可． 【详解】 解：A、2×5≠3×4，故此选项不符合题意； B、1×4=2×2，故此选项符合题意； C、4×10≠6×8，故此选项不符合题意； D、 ，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】 本题考查成比例线段的概念，理解概念，熟练掌握成比例线段的判断方法：最小的与最大的相乘，另外的两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一． 2．B 【分析】 根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出 ． 【详解】 解：根据比例中项的概念，得 ， ， 又线段不能是负数， 应舍去，取 ， 故选：B． 【点睛】 考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数． 3．D 【分析】 根据比例的性质进行变形，再判断即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误； 故选：D． 【点睛】 本题考查了