课后提升训练9 全称量词命题和存在量词命题的否定(Word练习)-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

课后提升训练(九)　全称量词命题和存在量词命题的否定 [对应学生用书P191] 1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 答案：C 2．(2020·山东东营胜利一中期中)命题“对任意x∈R，都有x2－x>0”的否定为(　　) A．对任意x∈R，都有x2－x≤0 B．存在x∈R，使得x2－x≤0 C．存在x∈R，使得x2－x>0 D．不存在x∈R，使得x2－x≤0 答案：B 3．(2021·山东济宁高一上期末)已知命题p：∃x>1，x2－4<0，则¬p是(　　) A．∃x>1，x2－4≥0 B．∃x≤1，x2－4<0 C．∀x≤1，x2－4≥0 D．∀x>1，x2－4≥0 答案：D 4．下列命题的否定为假命题的是(　　) A．∃x∈Z，1<4x<3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈R，x2＋3x＋2＝0 答案：D 5．已知命题p：∃x∈R，x－2>，命题q：∀x∈R，x2>0，则(　　) A．命题p，q都是假命题 B．命题p，q都是真命题 C．命题p，¬q都是真命题 D．命题p，¬q都是假命题 答案：C 6．(多选)已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　) A．命题¬p是假命题 B．命题p是存在量词命题 C．命题p是全称量词命题 D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 答案：AC 7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________． 所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0(或∀x>0，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0) 解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为____________________，此命题的否定是____________________，是________(填“真”或“假”)命题． 答案：∃x，y∈R，x＋y>1　∀x，y∈R，x＋y≤1　假 9．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0. 解：(1)¬p：∃x∈R，x2－x＋<0，假命题． (2)¬q：有的正方形不是矩形，假命题． (3)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题． 10．已知a，b是常数，命题p：对任意实数x，有x－a>0或x－b≤0. (1)写出命题p的否定； (2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？ 解：(1)命题p的否定：存在实数x，有x－a≤0且x－b>0. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集， 通过画数轴(图略)可看出，a，b应满足的条件是b<A． 11．(多选)(2021·淄博实验中学高一上期末)设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且P≠Q，则下列选项中错误的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∃x∈P，使得x∉Q C．∃x∈Q，使得x∉P D．∀x∉Q，有x∉P CD　解析：因为P∩Q＝Q，且P≠Q，所以Q是P的真子集，所以∀x∈Q，有x∈P，∃x∈P，使得x∉Q，C，D错误． 故选CD． 12．(2020·淄博实验中学高一第一次诊断)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|1≤a≤3} B．{a|－1≤a≤3} C．{a|－3≤a≤3} D．{a|－1≤a≤1} B　解析：由题得，命题的否定是“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”， 即Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3，即实数a的取值范围为{a|－1≤a≤3}． 故选B． 13．已知命题“∀x∈R，x2＋ax＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________． {a|a≤－2或a≥2}　解析：∵命题“∀x∈R，x2＋ax＋1>0 ”是假命题， ∴“∃x∈R，x2＋ax＋1≤0”是真命题， 即∃x∈R使不等式x2＋ax＋1≤0有解． 所以Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2. ∴实数a的取值范围是{a|a≤－2或a≥2}． 14．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”， 事实上，当a＝0时，对于任意x∈R，不等式－3≤0恒成立； 当a≠0时，借助二次函数的图象(图略)，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且最大值小于等于0，即－a－3≤0，即－3≤a<