第09讲 等腰三角形的轴对称性-2021-2022学年秋季八年级数学基础培优精讲精练学案（苏科版）

第09讲 等腰三角形的轴对称性 教学目标 1.探索等腰三角形的轴对称性，进一步体验轴对称的特性. 2.探索并掌握等腰三角形的性质定理，探索并掌握等腰三角形的判定定理. 3.探索等边三角形的性质定理及判定定理. 4.在“操作一探究一归纳一证明”的过程中，进一步发展有条理的思考和表达的能力，发展合情推理和演绎推理的能力，感受分类、转化等数学思想方法，不断积累数学经验. 考点关注 1.等角对等边、等边对等角.（常考点） 2.等腰三角形、等边三角形的性质与判定定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理.（必考点） 知识点1 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的轴对称性:等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2.等腰三角形性质定理1文字描述:等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）. 3.等腰三角形性质定理2文字描述:等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）. 4.等腰三角形性质定理1，2用几何语言表示如下表: 例1 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B = 40°，∠C = 36°，则∠DAC的大小为 _________ 度. 巩固练习1 在△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，则∠B = _________ . 知识点2 等腰三角形的判定方法 1.等腰三角形的判定定理 （1）文字描述:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）； （2）几何语言:如图2－90所示， 在△ABC中，∵∠B = ∠C，∴AB = AC（等角对等边）. 2.等腰三角形的定义判定 至少有两边相等的三角形是等腰三角形. 例2 如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，DE∥AC，求证△ADE是等腰三角形. 巩固练习2 如图所示，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，DE是AC的垂直平分线，求证△BCD是等腰三角形. 知识点3等边三角形的概念和性质 1.等边三角形的概念 （1）文字描述:三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形； （2）几何语言:如图2－92所示， ∵AB = BC = AC， ∴△ABC是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）文字描述:等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有更特殊的性质:①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；②等边三角形的各角都等于60°（性质定理）. （2）（性质定理）几何语言:如图2－92所示， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C = 60°. [特别提醒] 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 例3 如图，l1 ∥ l2，△ABC为等边三角形，∠ABD = 35°，则∠ACE = _________ . 巩固练习3 已知m∥n，将一块等边三角形纸板ABC按如图所示放置，则∠1－∠2 = _________ . 知识点4 等边三角形的判定方法 1.等边三角形的判定定理1 （1）文字描述:（由等边三角形的定义判定）三边相等的三角形是等边三角形: （2）几何语言:如图2－94所示，在△ABC中， ∵AB = BC = AC， ∴△ABC是等边三角形. 2.等边三角形的判定定理2 （1）文字描述:三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）几何语言:如图2－94所示，在△ABC中， ∴∠A = ∠B = ∠C， ∴△ABC是等边三角形. 3.等边三角形的判定定理3 （1）文字描述:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； （2）几何语言:如图2－94所示，在△ABC中， ∵△ABC为等腰三角形，且∠A = 60°，∴△ABC是等边三角形. 例4 如图，在△ABC中，∠B = 60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD = 60°，求证△ABC是等边三角形. 巩固练习4 如图所示，在三角形ABC中，DE是AC边的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B = 60°，∠C = 30°，求证△ABD是等边三角形. 知识点5 直角三角形的性质 1.文字描述:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.几何语言:如图2－96所示， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB = 90°，D是AB的中点， ∴CD = AB（或AB = 2CD）. 3.直角三角形除了这个性质之外，还有其他的性质，例如我们学过的“直角三角形的两锐角互余”和即将要学习的“勾股定理”等.我们不能直接用“如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形“去判定一个三角形是直角三角形.另外，在一个直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 例5 如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE