专题09指数与指数函数-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题09指数与指数函数--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 学生应理解有理指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；熟练掌握指数函数的概念、图象与性质． 二、教学建议 在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。 求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数： 求简单函数的值域中，简单函数指下列函数： ，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。 函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性 质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。 三、自主梳理 1．根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 (4)当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 (5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 四、真题感悟 1.（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 2. （2021全国乙卷文）下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 3.（2020北京卷6】已知函数，则不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式化为在同一直角坐标系下作出y=2x，y=x+1的图象（如图），得不等式的解集是，故选D． 4．(2018全国卷Ⅱ)函数的图像大致为 【答案】B【解析】当时，因为，所以此时，故排除A．D；又，故排除C，选B． 5．（2017新课标Ⅰ）设为正数，且，则 A．      B．     C．     D． 【答案】D【解析】设，因为为正数，所以，则，，，所以，则，排除A、B；只需比较与，，则，选D． 6．（2015山东）设函数，则满足的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C【解析】由可知，则或，解得． 五、高频考点+重点题型 考点一、指数幂根式的化简运算 例1、化简下列各式： (1) [(0.064)－2.5]－－π0 = (2) (a>0，b>0) = (3) 设，则 的值为 【答案】（1）0（2）（3）7 解析　(1)原式＝－－1 ＝－－1 ＝－－1＝0. (2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝. （3）, . 对点训练1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝ 【答案】D 【解析】对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确。 对点训练2.镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种