2021年全国高考数学真题演练（6）---数列

2021年高考数学真题演练------数列（学生版） 一、单选题 1.（全国甲卷文科9） 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2.（全国甲卷理科7）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3.（浙江卷10） 已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 4.（全国新高考II卷12） 设正整数，其中，记．则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 5.（全国新高考I卷16）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 三、解答题 6.（全国甲卷理科18） 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 7.（全国甲卷文科18） 记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 8.（全国乙卷理科19） 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式． 9.（全国高考乙卷文科19） 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式． 10.（浙江卷20） 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围. 11.（全国新高考II卷17） 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 1 $2021年高考数学真题演练------数列（解析版） 一、单选题 1.（全国甲卷文科9） 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 2.（全国甲卷理科7）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 3.（浙江卷10） 已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解． 【详解】因为，所以，． 由 ，即 根据累加法可得，，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，即． 故选：A． 二、多选题 4.（全国新高考II卷12） 设正整数，其中，记．则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】： 对于A选项，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，取，，， 而，则，即，B选项错误； 对于C选项，， 所以，， ， 所以，，因此，，C选项正确； 对于D选项，，故，D选项正确. 故选：ACD. 3、 填空题 5.（全国新高考I卷16）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 【答案】 (1). 5 (2). 【解析】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）对折次可得到如下规格：，，，，，共种； （2）由题意可得，，，，，， 设， 则， 两式作差得 ， 因此，.