第四章 图形的相似（强化题型）-2021-2022学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

第四章 图形的相似（强化题型） 射影定理 中，，于，若，，则的长　 ． 如图，在中，，于，，，则的长为　 　． 如图，在中，，于，，，则为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 如图，在中，，于，且，若，则　 　． 如图所示，中，，于，若，，则的长度　　 A． B． C． D． 多结论问题 如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 如图，已知、分别为正方形的边，的中点，与交于点则下列结论①；②；③；④，其中正确结论的个数是　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②为中点；③；④，其中结论正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 如图，在矩形中，，为中点，连接交于点，连，下列结论：①；②；③；④．正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 如图，正方形中，，，分别交、于、，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　　 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 作辅助线求线段长度 如图，中，，、分别在，上，连接，，，，则的长为　 　． 在矩形中，点为的中点，点为的中点，连接、交于点，若，，则线段的长为　 　． 如图，正方形的边长为，，分别是，的中点，与，分别交于点，，则的面积是　 　． 如图，在中，，，为的中点，点、分别在、上，且满足，若，，则　 　． 阿波罗尼氏圆 如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是　 　． 如图，已知矩形，，，以点为圆心，5为半径作圆，点为圆上一动点，连接，，则的最小值为　 　． 在中，，，，以点为圆心，4为半径的圆上有一动点，连接，，，则的最小值是　 　． 坐标轴上的动点问题 如图，在中，，， （1）图1中共有　 　对相似三角形，写出来分别为　 　（不需证明）； （2）已知，，请你求出的长； （3）在（2）的情况下，如果以为轴，为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系（如图，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，点出点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为秒，是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． （1）求的值． （2）若为轴上的点，且，求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 如图①，点、分别在轴和轴的正半轴上，且、的长是方程的两根，直线平分，交轴于点．是射线上一动点． （1）设与的面积分别为、，求的值； （2）求直线的解析式； （3）过点作，交于点，（如图②．若，求点坐标． 如图，在直角坐标平面内有点，，，点、分别为线段和射线上的动点，点以2个单位长度秒的速度自向方向作匀速运动，点以5个单位长度秒的速度自向方向作匀速运动，交于点． （1）求证：为定值； （2）若与相似，求的长； （3）若是等腰三角形，求的长． 已知正方形如图放置在平面直角坐标系中，．如图1，若直角的顶点放置于正方形对角线边、交点处，直角绕顶点 旋转，角的两边分别与线段、交于点、（不与点、、重合）．在旋转的过程中，易证：四边形的面积为定值，且． （1）如图2，若直角的顶点放置于对角线上，且，直角绕顶点旋转，角的两边分别与线段、交于点、（不与点、、重合）．设，四边形的面积为，则随的变化而变化吗？若不变，请求出的值；若变化，请求出与的关系式． （2）如图3，若直角的顶点放置于对角线上，且，直角绕顶点旋转，角的两边分别与线段、交于点、（不与点、、重合）．设，四边形的面积为　 　． （直接写出答案，不需证明；若随的变化而不变，直接写出的值；若变化，直接写出与的关系式． 非坐标轴上的动点问题 已知，把和按图①摆放（点与重合），点，，，始终在同一条直线上，，，，，．如图②，从图①位置出发，以每秒1个单位的速度沿向匀速运动，同时，点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点匀速运动，与的直角边相交于点，当到达终点时，与点同时停止运动，连接，设移动的时间为．解答下列问题： （1）当在上时，求的值； （2）在点运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （3）连接，设四边形的面积为，求与