第一章 小专题1 与正方形有关的四个常考模型-【名校课堂】2020-2021学年九年级上册初三数学(北师大版)(全国)书稿

!( !!! 数学九上 !" 小专题 ! ! 与正方形有关的四个常考模型 模型 ! ! 正方形中相交垂线段问题+++教材 +"! 例 ! 的变式与应用 !! (教材母题变式)"教材 8$& 例 & 变式#如图"在正 方形 %&'( 中" * " + 分别在 &' " '( 上" &*.'+#%* 与 &+ 之间有怎样的关系+ 请说明理由 # (变式) ! 如图"在正方形 %&'( 中"点 * " + 分别 在边 &' " '( 上" %* " &+ 交于点 ) " # %)+.7%2# 求 证* &*.'+# *********************** * * * * * * * * * * * * * * ************************ * * * * * * * * * * * * * + ++ + ! !! 正方形内#分别连接两组对边上任意两点#得 到的两条线段!如-图 & 中的线段 %+ 与 &* #图 $ 中的线段 %+ 与 *0 #图 - 中的线段 1+ 与 *0 "满 足-若垂直#则相等 # 模型 " ! 正方形中过对角线交点的直角问题+++教 材 +"& 习题 ,% 的变式与应用 !! (教材母题变式)"教材 8$* 习题 9+ 变式#如图"正 方形 %&'( 的对角线 %' 和 &( 相交于点 ) " ) 又是 正方形 % & & & ' & ) 的一个顶点" )% & 交 %& 于点 * " )' & 交 &' 于点 +# & & '求证* " %)* '" &)+ # & $ '如果两个正方形的边长都为 5 "那么正方形 % & & & ' & ) 绕 ) 点转动"两个正方形重叠部分的面积等 于多少+ 为什么+ (变 式) ! 如 图"在 等 腰 :; " %&' 中" # '.7%2 "点 ) 是 %& 的中点"且 %'.& "将一块直 角三角板的直角顶点放在点 ) 处"始终保持该直角三角板的两 直角边分别与 %' " &' 相交"交点 分别为 ( " * "则 两 个 三 角 形 重 叠 部 分 的 面 积 为 *********************** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ************************ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * + ++ + # !" %&' 是等腰直角三角形# ) 为斜边 %& 的中点 # 连接 )' #则 " ()' '" *)& # " %() ' " '*)# " 在正方形 %&'( 中# ) 为对角线的交点#直 角 # *)+ 绕点 ) 旋转#若 )* # )+ 分别与 (% # %& 延长线交于点 0 # 1 #则 " %0) '" &1) # " )01 是等腰直角三角形 # !温馨 提示'可 尝试应用 模型 做一 做 活 页 卷 +%,!& " 数学九上 !" !) !!! 模型 # ! 正方形中的,外角平分线-模型 ## 如图"四边形 %&'( 是正方形"点 * 是边 &' 上任意 一点" # %*+.7%2 "且 *+ 交正方形外角的平分线 '+ 于点 +# 求证* %*.*+# (变式) ! 在上题的前提下"若题中结论$ %*.*+ %与 条件$ '+ 是正方形外角的平分线%互换"则命题是否 还成立+ 请给出证明 # 模型 % ! 正方形中的半角模型 %# 如图"在正方形 %&'( 中" * 是 %& 上一点" + 是 %( 延长线上一点"且 (+.&*# & & '求证* '*.'+ # & $ '若点 0 在 %( 上"且 # 0'*.+*2 "则 0*.&*/ 0( 成立吗+ 为什么+ (变式) ! 如图"在正方形 %&'( 中"点 * " + 分别为 边 &' " '( 上一点"且 # *%+.+*2 " %* " %+ 分别交 对角线 &( 于点 . " /# 求证* ./ $ .&. $ /(/ $ # *********************** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ************************ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * + ++ + ! !! ! & "如图 & #在正方形 %&'( 中#若 # *%+. +*2 #则- ! *+.&*/(+ ' "" '*+ 的周长为正方形 %&'( 边长的 $ 倍' # +% 平分 # (+* # *% 平分 # &*+ ' $ ./ $ .&.