专题08二次函数与幂函数-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题08二次函数及幂函数--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、教学建议 幂函数的教学中，只要求了解幂函数的概念，并结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3， 的图象，了解它们的单调性和奇偶性。 二次函数的教学中，方程实根分布问题，重点在于培养学生使用图象来解决方程根的问题的思想方法，这里的借助图象来控制根的分布的思想，是相对于初中用判别式和求根公式等代数办法而言，重点在于对借助图象能力的培养，而不在于背诵记忆若干根的分布的几大类型公式等。 三、自主梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 [提醒] 二次函数的图像、单调性、最值与以下四点有关 （1）抛物线的开口方向（2）对称轴（3）给定区间的范围有关（4）判别式 四、真题感悟 1.（2021浙江卷） 已知，函数若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】，故， 故答案为：2. 2.（2021全国甲卷理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期．所以． 故选：D． 3.（2021全国甲卷文）设函数，其中.讨论的单调性； 【答案】的减区间为，增区间为； 【详解】函数定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. 4.（2021浙江卷） 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ） A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】由题意得，即， 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以或， 其中为双曲线，为直线. 故选：C. 5．（2020江苏7）已知是奇函数，当时，，则的值是 ． 【答案】 【解析】是奇函数，当时，，则． 6．（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路导引】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案． 【解析】当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时，由二次函数的图象可知，只有时，满足，不满条件； 当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时当两根分别为和， （1）当时，此时，当时，不恒成立， （2）当时，此时，若满足恒成立，只需满足 当时，此时，满足恒成立， 综上可知满足在恒成立时，只有，故选C ． 五、高频考点+重点题型 考点一、幂函数与二次函数的解析式 例1.（1）已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为（ ） A． B． C．3 D． （2）已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是 【答案】（1）D （2）f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【解析】（1）设，依题意可得， 所以.所以. 故所求实数. （2）法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)＝