专题11 角（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）

专题11 角 知识网络 重难突破 一、角的表示 1.角的两种定义： ①有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. ②角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. 2. 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 3. 角的表示角有四种表示方法，角用符号“∠”来表示 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 典例1．（2021·河北七年级期末）如图所示，下列表示角的方法中，错误的是（ ） A． 与 表示同一个角 B． 也可用 表示 C．图中共有三个角，分别是 D． 表示 二、单位换算 1. 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的 为1分，记作“1′”，1′的 为1秒，记作“1″”． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 2. 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 典例1．用度分秒表示： ______；用度表示： =________ 典例2．（2021·全国七年级）计算：（1） ″； （2） ″ ″ （3） 三. 角平分线及其计算 1. 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC = ∠AOB． 2. 角的大小与两边的长短无关，只与两边张开的大小有关。 3. 两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分. 4. 常用的一副三角板，其中一个三角分别为45°、45°90°，另一个三个角分别为30°、60°、90°。 典例1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转 °（0＜ ＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（ ） A．∠AOD B．∠AOC C．∠EOF D．∠DOF 典例2．．将一副三角尺按图所示摆放，则∠ABE＝_________°，∠ACD＝_________°． 四. 余角与补角 1.定义：①一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．②类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2. 性质：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等． 3. 注意： 互余和互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，与它们的位置无关． 4. 技巧：一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 典例1．已知一个角的余角的补角是这个角的补角的 ，求这个角的度数． 典例2．如图所示， 和 都是直角． （1）填空：图中与 互余的角有____________； （2） 与 互补吗？为什么？ 五. 钟面角 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°. 技巧：钟面角问题一般可以看做是行程问题里的追击问题. 典例1．（2021·浙江绍兴市·）周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内钟面上的时针转了（　　　） A．37.5° B．45° C．52.5° D．60° 典例2．钟表上的时间是2时40分，此时时针与分针所成的夹角是__________度． 六、 方位角 1. 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 2. 方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向，即“北偏东 度”、“北偏西 度”、“南偏东 度”、“南偏西 度”，方位角 的取值范围 ；“北偏东45度”为东北方向，“北偏西45度”西北方向，“南偏东45度”为东南方向，“南偏西45度”为西南方向. 注意：在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； 典例1．（2020·贵州毕节市·）如图， 是北偏东 方向的一条射线，若 ，