第二章 名师微课 不等式恒成立、能成立问题(课件PPT)-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第二章 一元二次函数、方程和不等式 名师微课　不等式恒成立、能成立问题 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 {m|m＞－5} 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回导航 高中数学 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 谢谢观看！ [对应学生用书P44] 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养． 一、判别式法解决恒成立问题 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立．求实数k的取值范围； (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)， 由y＜0恒成立， 知其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＜0，,4k2＋4k（k＋2）＜0，)) 解得－1＜k＜0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1＜k≤0}． (2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立， ∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0， 即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤－1，或a≥4}． 二、数形结合法解决恒成立问题 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范围． 解：令y＝x2＋mx＋4. ∵当1≤x≤2时，y＜0恒成立． ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图， 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4＜0，,4＋2m＋4＜0，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋5＜0，,2m＋8＜0，)) ∴m的取值范围是{m|m＜－5}． 三、分离参数法解决恒成立问题 设函数y＝mx2－mx－1，1≤x≤3，若y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解：y＜－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立， ∵x2－x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,4) ＞0， 又m(x2－x＋1)－6＜0， ∴m＜ eq \f(6,x2－x＋1) . ∵y＝ eq \f(6,x2－x＋1) ＝ eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)) 在1≤x≤3上的最小值为 eq \f(6,7) ， ∴m的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m<\f(6,7))) . 四、“反客为主”法解决恒成立问题 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围． 解：y＜0⇔mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x＋1)m－6＜0. ∵1≤m≤3， ∴x2－x＋1＜ eq \f(6,m) 恒成立， ∴x2－x＋1＜ eq \f(6,3) ⇔x2－x－1＜0⇔ eq \f(1－\r(5),2) ＜x＜ eq \f(1＋\r(5),2) . ∴x的取值范围为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)))＜x＜\f(1＋\r(5),2))) . 五、利用图象解决能成立问题 当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，则实数m的取值范围为__________________． 解析：记y＝x2＋mx＋4，则由二次函