专题04一元二次不等式-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题04一元二次不等式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 利用二次函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，通过对二次函数图象的描述分析，经历观察、思考、探究建立二次函数图象与一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系. 构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路培养学生的直观想象. 从特殊一元二次不等式的解集的探究过程到探究利用图像归纳到利用图象求一般不等式的解集的方法，培养学生的逻辑推理能力． 二、教学建议 一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性， 往往对函数求导后得到的导函数，对导函数式经过通分、提取公因式等变形后，把导函数正负的判定转化为解一元二次不等式的求解；教学时建议合理选题体现知识间的联系．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化． 三、自主先学 “三个二次”的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 的解集 的解集 四、真题感悟 1．（2019•新课标Ⅰ，理1）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，故选． 2．（2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x(单位m)的取值范围是 A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30] 【答案】C 【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为，则，所以，又，所以，即，解得． 3．（2013重庆）关于的不等式（）的解集为， 且，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵由 ()，得，即，∴，∵，∴．故选A． 4．（2017江苏）记函数 的定义域为．在区间上随机取一个数 ，则 的概率是 ． 【答案】 【解析】由，解得，根据几何概型的计算公式得概率为 5．（2013重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】． 【解析】不等式对恒成立， 则有 即． ∴．∴． 又，结合下图可知，∈． 6．(2018浙江)已知，函数，当时，不等式的解集是___________．若函数恰有2个零点，则的取值范围是___________． 【答案】； 【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或． 7.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________． 【答案】 (1,4) 【解析】 由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 8.（2020·江苏省高考真题）已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)的表达式； 【答案】（1）； 【解析】 （1）由题设有对任意的恒成立. 令，则，所以. 因此即对任意的恒成立， 所以，因此. 故. 五、高频考点+重点题型 考点一、不等式化为一元二次不等式求解 例1、（1）解不等式 （2）已知函数，解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】：（1）不等式化为，化为， ∴，解集为． （2）由题意知解得：x＞1．故原不等式的解集为 对点训练1（高三二模）不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】，，即，解得， 故不等式的解集为. 对点训练2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，解得，故选：C. 对点训练3．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（　　） A．（） B．[2，8] C．[2，8） D．[2，7] 【解析】解：由4[x]2﹣36[x]+45＜0，得， 又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8． 故选：C． 总结：一元二次不等式是基础，分式不等式、根式不等式、高次不等式等常常要转化为一元二次不等式来解决 考点二、三个“二次”之间的关系运用 例2、若关于的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】：由已知的解集为，可知，且＝，将不等式两边同除以，得，即，解得，故不等式的解集为． 对点训练1、已知.若的解集为，求关于x的不等式的解集； 【解析】（Ⅰ）由题意得，解得. 故原不等式等价于.即解得：或 所以不等式的解集为. 对点训练2．已知关于的不等式的解集为． （1）当时，求