专题22.8判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优30题）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华东师大版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】 专题22.8判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优30题） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题（本大题共30小题，共100分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．（2020秋•泗阳县期末）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取最大值时，求方程mx2﹣2x+1＝0的根． 【分析】（1）由关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，分两种情况：①m＝0时，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，为一元二次方程，由判别式△≥0，解不等式即可求得答案； （2）求出m的值，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）①m＝0时，方程为﹣2x+1＝0，有实数根， ②m≠0时，△＝4﹣4m≥0， 得m≤1． 综上：m的取值范围是m≤1． （2）∵m≤1， ∴m的最大值为1， 则方程为x2﹣2x+1＝0， ∴x1＝x2＝1． 2．（2021•通州区一模）已知关于x的方程x2﹣4x+2﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝42﹣4×1×a＞0，然后解不等式即可． （2）根据（1）中k的取值范围，任取一k的值，然后解方程即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+2﹣k＝0有两个不相等的实数根． ∴△＝42﹣4×1×（2﹣k）＞0， 解得k＞﹣2． （2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞﹣2，故取k＝﹣1，则 x2﹣4x+3＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0， 解得，x1＝3，x2＝1． 3．（2020春•奉化区期末）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意有△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【解答】（1）证明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：依题意有△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2， 方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， 故△ABC的周长＝2+2+1＝5． 4．（2020秋•泰兴市期末）已知关于x的方程kx2+（2k+3）x+k+1＝0． （1）若x＝1是该方程的根，求k的值； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【分析】（1）把﹣1代入方程求解即可； （2）根据根的判别式计算即可． 【解答】解：（1）把x＝1代入该方程得k+2k+3+k+1＝0，解得k＝﹣1； （2）分两种情况讨论： ①当k＝0时，原方程可化为3x+1＝0，解得， 与“该方程有两个不相等的实数根”矛盾，不合题意，应舍去； ②当k≠0时，原方程是关于x的一元二次方程， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0， 即，解得． 综上所述，且k≠0为所求． 5．（2020秋•醴陵市期末）已知平行四边形ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根． （1）若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （2）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 【分析】（1）将x＝2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长． （2）根据菱形的性质可得出AB＝AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，把m的值代入，然后解方程即可． 【解答】解：（1）当x＝2时，4﹣2m+2＝0， 解得：m＝3， ∴x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝2，x2＝1， ∴平行四边形的周长为2×（1+2）＝6； （2）∵当AB＝AD时，平行四边形ABCD是菱形，即：△＝0， ∴m2﹣4×2＝0，解得：， 又∵AB+AD＝m＞0， ∴， ∴方程为x2﹣2x+2＝0， 解得，x1＝x2， ∴菱形的边长为． 6．（2021•绥化模拟）关于x的一元二次方程kx2+5x﹣2＝0有两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根x1、x2满足x1