重庆市第八中学校2020-2021学年高一下学期期中（半期）考试数学试题

重庆八中2020—2021学年度（下）半期考试高一年级 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足为虚数单位），则　　 A． B． C． D． 2．如右图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为 ，若，，则的面积为　　 A．3 B． C． D．第2题图 3．已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是　　 A．如果，，，那么 B．如果，，，那么 C．如果，，，，那么 D．如果，，，那么 4．在中，角所对的边分别为．若，，， 则　　 A． B． C． D． 5．在平行四边形中，设为线段上靠近B的三等分点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量　　 A． B． C． D． 6．已知两个非零向量与的夹角为，且，，则　　 A．8 B．6 C．4 D．2 7．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，，，则此直三棱柱的高是　　 A． B．2 C． D．4 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知向量，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A．若复数，则 B．若复数满足，则 C．若复数满足，则 D．若复数满足，则 11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如右图，在堑堵中，，且．下列说法正确的是（ ）第11题图 A．四棱锥为“阳马” B．四棱锥体积最大为 C．四面体为“鳖臑” D．过点分别作于点，于点，则 12．在中，角的对边分别为，为钝角，且，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则_______． 14．如右图所示，为了测量山高MN，分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶C处为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得，已知山高BC＝50米，则山高MN＝______米． 第14题图 15．已知正的边长为，是边上的动点（含端点），则的取值范围是__________． 16．如右图，一圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于__________．第16题图 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 17．（10分）已知复数. （Ⅰ）若在复平面中所对应的点在直线上，求的值； （Ⅱ）求的取值范围. 18．（12分）在四边形中，已知，，，． （Ⅰ）求x、y的关系式； （Ⅱ）若，求x，y的值以及四边形的面积． 19．（12分）如图，在直三棱柱中，， ，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求证：平面． 20．（12分）在中，分别是角的对边，若， （Ⅰ）求； （Ⅱ）若面积的最大值为，求． 21．（12分）已知向量，，． （Ⅰ）求值域； （Ⅱ）在中，角的对边分别为．且，，若，求的周长． 22．（12分）如图①所示，在四棱锥中，，平面平面，且是边长为2的等边三角形． 1 ② （Ⅰ）求证：． （Ⅱ）过点作，使得四边形为菱形，连接，，，得到的图形如图②所示，已知平面∥平面，且直线∩平面，直线平面，求三棱锥的体积． 重庆八中2020-2021学年度（下）半期考试高一年级 数学参考答案 一、单选题（40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B B B A C B 5．【解析】，，则．故选B． 6．【解析】由题可知，，，即，解得（负值舍去）．故选A． 7．【解析】如图：∵平面，∴是与底面 所成角，∴，∵底面，∴是 与底面所成的角，∴，连接，，则． ∴或其补角为异面直线与所成的角．不妨设，则，，，∴，．在等腰中， ，所以异面直线和所成角的余弦值为，故选C． 8．【解析】设．因为，所以，于是是外接圆的半径），．又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为．所以球的表面积为，解得．于是直三棱柱的高是．故选B． 二、多选题（20分） 题号 9 10 11 12 答案 BC AB ACD ABC 11．【解析】在选项B中，在