专题06函数的单调性及最值-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题06函数的单调性及最值--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 理解函数的单调性，会判断函数的单调性，会用函数的单调性的功能去求最值、解不等式、比较大小，理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值. 二、教学建议 主要以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查，也可以抽象函数为载体，加强对函数各种性质的理解。 三、自主梳理 知识点一 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 四、真题感悟 1．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为　　 A． B． C． D． 答案：D 解答：解：由一次函数性质可知在上是减函数，不符合题意； 由指数函数性质可知在上是减函数，不符合题意； 由二次函数的性质可知在上不单调，不符合题意； 根据幂函数性质可知在上单调递增，符合题意． 故选：． 2．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 答案：D 解答：解：由，得或． 令， 外层函数是其定义域内的增函数， 要使函数在上单调递增， 则需内层函数在上单调递增且恒大于0， 则，，，即． 的取值范围是，． 故选：． 3．（2017•山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是　　 A． B． C． D． 答案：A 解答：解：当时，函数在上单调递增，函数具有性质， 故选：． 4．（2020•新课标Ⅱ）若，则　　 A． B． C． D． 答案：A 解答：解：方法一：由，可得， 令，则在上单调递增，且， 所以，即，由于， 故． 方法二：取，，满足， 此时，，可排除． 故选：． 5．（2017•新课标Ⅱ）函数的单调递增区间是　　 A． B． C． D． 答案：D 解答：解：由得：，，， 令，则， 时，为减函数； 时，为增函数； 为增函数， 故函数的单调递增区间是， 故选：． 6．（2016•天津）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是　　 A． B．，， C．， D．， 答案：C 解答：解：是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增， 在上单调递减．，， ．，解得． 故选：． 五、高频考点+重点题型 考点一、判断函数的单调性（增减+区间） 例1（1）函数f(x)=在（ ） A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减 C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减 （2）函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. （3）（2020·新课标Ⅱ）设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 【答案】（1）C （2）D （3）D （1）【解析】分离函数得f(x)=-1，结合函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移即可判断. 【详解】f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1， 因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增. 故选：C. （2）【解析】 得或， 令，则为增函数， 在上的增区间便是原函数的单调递增区间， 原函数的单调递增区间为，故选D. （3）【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在