2021年全国高考数学真题演练（4）---平面向量

2021年全国高考数学真题演练-----平面向量（学生版） 一、填空题 1.（全国甲卷理科14）已知向量．若，则________． 2.（全国甲卷文科13） 若向量满足，则_________. 3. （全国乙卷理科14） 已知向量，若，则__________． 4. （全国乙卷文科13） 已知向量，若，则_________． 5.（新高考Ⅱ卷15） 已知向量，，，_______． 二、多选题 6（全国新高考Ⅰ卷10多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A B. C. D. 7. （全国新高考Ⅰ卷12多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 $2021年全国高考数学真题演练-----平面向量（解析版） 一、填空题 1.（全国甲卷理科14）已知向量．若，则________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 【详解】, ，解得, 故答案为：. 2.（全国甲卷文科13） 若向量满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案 【详解】∵ ∴ ∴. 故答案为：. 3. （全国乙卷理科14） 已知向量，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 4. （全国乙卷文科13） 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案：. 5.（新高考Ⅱ卷15） 已知向量，，，_______． 【答案】：. 【解析】： 由已知可得， 因此，.故答案为：. 二、多选题 6（全国新高考Ⅰ卷10多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：，，错误； 故选：AC 7. （全国新高考Ⅰ卷12多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． $