专题02 立体几何中存在性问题的向量解法-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 立体几何中存在性问题的向量解法 题型一 与平行有关的存在性问题 1．如图，在正方体中，是棱的中点． （1）求二面角的余弦值； （2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明． 2．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点． （1）若平面，求二面角的大小； （2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由． 3．已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，试问：在线段上是否存在点，使二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 4．如图：平面，四边形为直角梯形，，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍chú甍méng者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积； （3）点在直线上，满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型二 与垂直有关的存在性问题 7．如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面． （1）求二面角的正弦值； （2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由． 8．如图所示，在长方体中，，分别是，的中点，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在直三棱柱中、．，是中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值． 10．如图，在长方体中，，，为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）若线段上存在点使得，求与平面所成角的正弦值． 11．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点．已知，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 12．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小为，设平面与平面的交线为． （1）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由； （2）若点在上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 题型三 与距离有关的存在性问题 13．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？ 14．如图，长方体中，，为棱中点，为棱中点． （1）求二面角平面角的大小； （2）线段上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 15．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点． （1）求平面和平面夹角的余弦值； （2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由． 题型四 与角度有关的存在性问题 16．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为棱上一点，与交于点，且，，，． （1）证明：； （2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由． 17．如图1，在直角梯形中，，，，．将沿折起，折起后点的位置为点，得到三棱锥如图2所示，平面平面，直线与平面所成角的正切值为． （1）求线段的长度； （2）试判断在线段上是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由． 18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）求证：平面； （2）是否存在点，使平面与平面所成的锐二面角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 19．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点． （1）证明：，，三线共点； （2）线段上是否存在一点，使得直线与平面，所成角的正弦值为，若存在，请旨出点的位置，并求二面角的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由． 20．如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，与平行并且相等，． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明