第8讲 应用一元二次方程-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第8讲 应用一元二次方程 1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际 问题的一- 般步骤; 2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. SHAPE \* MERGEFORMAT 列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 知识点01 增长（降低）率问题 【知识拓展1】某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】设每次降价率为 ，初始价格为 ，依题意可得 ， 解得： （舍）， ，即每次降价率为 ． 【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值． 【即学即练1】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的月平均增长率是；（2）能，理由详见解析 【解析】（1）设进馆人次的月平均增长率是 500（1+x）2=720 解得，，（舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率是； (2)能； 理由是：720(1+20%）=864＜1000， 所以能够接纳. 【即学即练2】某种商品，原价50元，受金融危机的影响，1月份降价10%，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】设2、3月份平均增长率为 ，依题意可得 ， 解得： （舍）， ，即月均增长率为 ． 【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值． 【知识拓展2】某为了绿化校园，某中学在2014年植树400棵，计划到2016年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】设年均增长率为 ，依题意可得 ， 整理得 ，解得： （舍）， ，即年均增长率为 ． 【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值． 【即学即练3】某厂1月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印175万册，问2月、3月平均每月的增长率是多少？（精确到1%） 【难度】★★ 【答案】 【解析】设2、3月份平均增长率为 ，依题意可得 ， 解得： ， （舍），即月均增长率为 ． 【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值． 知识点02 利润问题 【知识拓展1】某商场将进价每件30元的衬衫以每件40元销售，平均每月可售出600件．为了增加盈利，商场采取涨价措施．若在一定范围内，衬衫的单价每涨1元，商场平均每月会少售出10件．为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？ 【答案】这种衬衫每件的价格应定为50元或80元 【解析】解：设这种衬衫每件的价格应定为x元． 根据题意，得(x－30)[600－(x－40)×10]＝10000． 解得x1＝50，x2＝80． 答：这种衬衫每件的价格应定为50元或80元． 【即学即练1】某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元? 【难度】★★ 【答案】4 【解析】设每件应降价 元，则每件盈利为 元，销量为 元，依题意可得方程即为 ，整理即为 ，解得： ， ，降价幅度不超过10元，可知 应舍去，即每件应降价4元． 【总结】利润问题，总利润=单个利润×销量，确定单个利润的前提下确定相应销量即可． 【即学即练2】某商场按标价销售某种工艺品时，按照标价出售，每件可获利45元，并且商场每天可售出该工艺品10