1.4 空间向量的应用-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第1章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 学习导航 1、 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念。 2、 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题。 教学过程 1、 空间中点、直线和平面的向量表示 1、空间中点的位置向量： 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、空间中直线的向量表示式： 直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，① 把＝a代入①式得 ＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3、空间中平面的向量表示式 1．平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 2．平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 例题1 1．若在直线l上，则直线的一个方向向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 【详解】 由题意可得：直线的一个方向向量， 又∵， ∴是直线的一个方向向量． 故选：A． 二、空间中直线、平面的平行 1、线线平行的向量表示： 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2、线面平行的向量表示： 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3、面面平行的向量表示： 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 例题2 2．已知线段AB的两端点坐标为，则线段AB与（ ） A．xOy平行 B．xOz平行 C．yOz平行 D．yOz相交 【答案】C 【详解】 因为， 所以AB∥平面yOz. 故选：C. 3、 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直的向量表示： 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2、线面垂直的向量表示： 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3、 面面垂直的向量表示： 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 例题3 3．在正方体中，若为的中点，则直线垂直于 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，直线CE垂直于直线B1D1 事实上，∵AC1为正方体，∴A1B1C1D1为正方形，连结B1D1， 又∵E为为A1C1的中点，∴E∈B1D1． ∴B1D1⊥C1E， CC1⊥面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1， 又CC1∩C1E＝C1，∴B1D1⊥面CC1E，而CE⊂面CC1E，∴直线CE垂直于直线B1D1 故选：B． 4、 用空间向量研究距离、夹角问题 1、 距离问题： （1）点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． （2）点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2、夹角问题： （1）两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． （2）空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 例题4 4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】C 【分析】 建立平面直角坐标系,根据题意写出各点坐标,进而可得出的坐标,代入数量积公式运算,可得两个向量互相垂直,