1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第1章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 学习导航 1、 理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.。 2、 掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直。 3、 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能应用这些知识解决一些简单立体几何问题。 教学过程 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系： 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 例题1 1．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（ ） A． B． C．2, D．2, 【答案】C 【分析】 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为． 【详解】 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为． 故选C． 二、空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 例题2 2．空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据中点坐标公式，中点坐标为.故选. 3、 空间向量的坐标运算 1、 空间向量的坐标： 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2、 空间向量坐标的运算： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 3、空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 例题3 3．设向量，，则等于（ ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】 根据，，结合向量加法的三角形法则，应用向量的坐标运算得到，进而求得 【详解】 由，，而 ∴ 故选：B 4、 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 例题4 4．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则下列说法错误的是 A．与垂直 B．与垂直 C．与平行 D．与平行 【答案】D 【分析】 先利用三角形中位线定理证明，再利用线面垂直的判定定理定义证明与垂直，由异面直线所成的角的定义证明与垂直，即可得出结论. 【详解】 如图：连接，， 在三角形中，，故C正确． 平面，，与垂直，故A正确； ，，与垂直，B正确； ∵，与不可能平行，D错误 故选：D． 课时训练 1．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（　　） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【分析】 由向量的数量积求得夹角的余弦值，可得参数值． 【详解】 解：∵向量， ∴， 解得． 故选：A． 2．已如向量，，且与互相垂直，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 计算，根据向量垂直得到答案. 【详解】 ，，则， 与互相垂直，则，. 故选：B. 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 直接运用向量坐标运算公式，求出的值. 【详解】 因为， 所以. 故选：B. 4．已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C．