1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第1章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 学习导航 1、 掌握空间向量基底的概念； 2、 了解空间向量的基本定理及其推论； 3、 了解空间向量基本定理的证明 教学过程 一、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 二、空间向量的正交分解 1．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 2．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 3、 证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4、 求距离（长度）问题 ＝( ＝ )． 五、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 例题1 1．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）．由余弦定理，计算得即可． 【详解】 如图，设的中点为，连接、、， 易知即为异面直线与所成的角（或其补角） 设三棱柱的侧棱与底面边长均为1， 则，，， 由余弦定理，得 故应选B. 课时训练 1．若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ） A．(2,0) B．(0,－2) C．(－2,0) D．(0,2) 【答案】D 【分析】 由题设，知，若 (x,y)为在基底下的坐标，则，即可得方程组求出坐标. 【详解】 ∵在基底，下的坐标为(－2，2)， ∴. 设(x,y)为在基底下的坐标，则，即， ∴，解得. ∴在基底下的坐标为(0,2)． 故选：D. 2．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 试题分析：先求得M（2,，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得，故选C． 3．已知，，当取最小值时，的值为 A．19 B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据空间两点间距离公式，求出的表达式，最后利用配方法，求出当取最小值时，的值. 【详解】 ，故当时，取得最小值. 4．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】 根据空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①命题的正误，即可得到正确选项． 【详解】 解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确． ②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的． ③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确． 故选C． 5．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设向量在基底下的坐标为， 则， 所以解得 故在基底下的坐标为. 故选：C. 6．已知空间四点，，，共面，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值. 【详解】 依题意得，，， 、、、四点共面，、、共面， 存在实数、，使得， 即，所以，解得. 故选：D. 7．如图，在平行六面体ABCD–A′B′C′D′的棱中，与向量模相等的向量有 A．0个 B．3个 C．7个 D．9个 【答案】C 【分析】 根据向量模的概念，结合平行六面体的几何性质，写出与模相等的向量，由此求得正确选项. 【详解】 向量模相等即长度相等，根据平行