2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 学习导航 1、 从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系. 2、 从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 3、 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 4、 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义. 5、 能够构建一元二次函数模型，解决实际问题． 教学过程 一、一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 例题1 1．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】 与不等式对应的一元二次函数为：， 如图函数开口向上，与轴的交点为：，， 可得不等式的解集为：或. 故选：B 二、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3、 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 例题2 例题 2．若关于的不等式的解集是，那么的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 由题意知方程的两根为和， 由根与系数的关系可得， 解得：， 故选：C 4、 简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法： 例题3 3．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 原不等式在内有解等价于在内有解， 设函数， 所以原问题等价于 又当时，， 所以. 故选：A. 5、 一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 2． 分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 例题4 4．若不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为（　　） A．0≤a≤4 B．﹣4＜a＜0 C．﹣4≤a＜0 D．﹣4≤a≤0 【答案】D 【分析】 时，不等式化为，解集为实数集； 时，应满足， 所以， 解得； 综上，实数的取值范围是． 故选． 6、 利用不等式解决实际问题的一般步骤 1．选取合适的字母表示题目中的未知数． 2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． 3．求解所列出的不等式(组)． 4．结合题目的实际意义确定答案． 例题5 5．一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设日利润为元，则，由，解得，即的取值范围为. 故选D． 课时训练 1．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．{a|a<2} B．{a|a≤2} C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2} 【答案】D 【分析】 分a－2＝0和a－2≠0两种情况进行讨论，第一种情况很容易验证符合题意，第二种情况结合二次函数的特点，讨论开口方向和判别式从而可求出参数的取值范围. 【详解】 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意； 当a－2≠0时，由题意知，，解得－2<a<2，∴－2<a≤2， 故选:D． 2．在上定义运算，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题可知原不等式等价于恒成立，利用即可求出. 【详解】 由定义可得， 则原不等式等价于恒成立， 即恒成立， ，解得， 故的最大值为. 故选：A. 3．不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】 由题意可知、是关于的二次方程的两根，利用韦达定理可求得、的值，进而可求得不等式的解集. 【详解】 由题意可知、是关于的二次方程的两根， 由韦达定理可得，解得， 不等式即为，解得或. 因