2.2 基本不等式-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 学习导航 1、 了解基本不等式的证明过程. 2、 能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3、 熟练掌握基本不等式及变形的应用. 4、 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 5、 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 教学过程 一、基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 思考1　不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？ 例题1 2．若，，，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 对于A，因为，所以，所以A不正确； 对于B，若，设，得， 所以 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C，因为，由，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以C不正确； 对于D，由上面可知，则，得，所以D不正确； 故选：B 二、用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数． (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 例题2 2．已知，，且，则的最大值是（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】 因为，，且， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：D. 课时训练 1．设 (其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（ ） A．P<N<M B．N<P<M C．P<M<N D．M<N<P 【答案】A 【分析】 利用基本不等式证明可得. 【详解】 又， ∴. 故选：A 2．不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是（ ） A．x=3 B．x=6 C．x=5 D．x=10 【答案】C 【分析】 根据基本不等式等号成立的条件可知，当时等号成立． 【详解】 当时，， 等号成立的条件是 ， ，解得： 故选：C． 3．已知a+2b=2(a>0，b>0)，则ab的最大值为（ ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】 根据求解即可． 【详解】 因为则，当且仅当时取等号， 所以 所以的最大值为， 故选：A 4．若，且，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 式子化为，展开利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为，所以． 因为，所以，． 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以，即的最小值为4． 故选：C 5．若正数，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了基本不等式中的乘“1”法，将乘以，计算以后利用基本不等式的公式运算最小值即可. 【详解】 正数，满足， 则，当且仅当时取等号． ∴的最小值为：． 故选：B. 6．已知点在直线上移动，则的最小值是（　　） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】 先根据题意得到，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解：在直线上移动， ， ， 当且仅当“”,即“”时取等号， 的最小值是. 故选：D． 7．若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】 ①②由基本不等式可得到结果，③④举反例可得结论不成立. 【详解】 解：对于①，由重要不等式可知①正确； 对于②， ，故②正确； 对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确； 对于④，令可知④不正确． 故恒成立的个数为个. 故选：C. 8．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用正弦定理将进行边化角，可得的值，再结合余弦定理和基本不等式即得． 【详解】 解析：由正弦定理得， ∵ , ∴，，，由余弦定理得： ，， 当且仅当时取等号，此时． 9．实数、，，且满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，得到，由，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是. 故选：C. 10．若，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】 对式子变形后利用基本不等式求出结果即可. 【详解】 因为，所以 所以 当且仅当，即时等号成立 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 第2章 一元二次函数