2.1 等式性质与不等式性质-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 学习导航 1、 能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 2、 初步学会作差法比较两实数的大小． 3、 了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 教学过程 一、基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 二、重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 3、 等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 4、 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 例题1 1．已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（　　） A．ac2＞bc2 B．a2＞b2 C．a3＞b3 D． 【答案】C 【分析】 因为，所以当时，得到，故A项错误； 当，得到，故B项错误； 当时，满足，但，故D项错误； 所以正确答案为C项. 课时训练 1．若为实数，且，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用反例可说明AB错误；采用作差法可验证出C错误，D正确. 【详解】 对于A，当时，，A错误； 对于B，当，时，，，此时，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，，，， ，D正确. 故选：D. 2．“>1”的一个充分不必要条件是（ ） A．x>y B．x>y>0 C．x<y D．y<x<0 【答案】B 【分析】 由>1⇔>0⇔x>y>0或x<y<0，结合充分性必要性的判断方法即可得解. 【详解】 如果p是q的充分不必要条件，那么，而. 当x>y>0时，必有>1， 而>1⇔>0⇔x>y>0或x<y<0. 所以x>y>0是>1的充分不必要条件. 故选：B. 3．若，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据不等式的性质和取特殊值即可得答案. 【详解】 解：因为，故由不等式的性质得，故C选项正确； 对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误； 对于B选项，由于，但，故B选项错误； 对于D选项，由于，但，故D选项错误. 故选：C. 4．如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据不等式的性质分析ABC，采用举例的方式分析D，由此得到正确的结果. 【详解】 A．因为，所以，所以，故错误； B．因为，所以，所以，故正确； C．因为，所以，所以， D．取，所以，故错误， 故选：B. 5．若实数是不等式的一个解，则可取的最小正整数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据条件将代入不等式，由此求解出的取值范围，从而的最小值确定. 【详解】 ∵实数是不等式的一个解， ∴代入得：，解得， ∴a可取的最小整数是， 故选：C． 6．若，且，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】 解：取，，，可判断选项不一定成立； 取，，可判断选项不一定成立； 取，则，可判断选项不一定成立； 因为，所以，所以，故一定成立． 故选：． 7．已知，那么下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由不等式的性质即可得出答案. 【详解】 由不等式的性质可知，若， 则： ，，， . 故选：C. 8．已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据不等式的性质证明即可； 【详解】 解：，所以，又，所以，，易得， 因此，， 故选：D. 9．下列命题为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】 对于A，C，D均可举出反例说明其不正确，对于B依据不等式的性质可得解. 【详解】 当时，A显然不成立； 若时，则，即B正确； 当时，，显然C不成立； 当时，，，显然D不成立； 故选：B. 1