22.2.5 一元二次方程根与系数关系-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 基础知识 1.一元二次方程根与一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)： 如果方程 的两个实数根是 ，那么 , ．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商． 2．韦达定理的逆定理： 如果实数 满足 ，那么 是一元二次方程 的两个根． 利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确． 3．韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程 的两个根是 ，那么 ， ． 推论2：以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 ． 【提醒】关于一元二次方程的根与系数的关系，在传统教学中，这是一个重点，但新课标没有作要求。到底该不该删这个内容，仍存在争论。在华师大教材中，一元二次方程的根与系数的关系目前是选学内容。 例题 例1．已知 是方程 的两根，求： （1）（x1+3）（x2+3）的值； （2） 的值． 【答案】（1）23；（2）2． 【分析】 （1）由根与系数的关系，得到x1+x2=4，x1•x2=2，然后把式子进行化简，即可得到答案； （2）由根与系数的关系，把式子进行化简，即可得到答案； 【详解】 解：∵ 是方程 的两根， ∴ ， ， （1） ； （2） ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是正确求出x1+x2=4，x1•x2=2，从而进行解题． 例2．已知关于x的一元二次方程 ． （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根． （2）若原方程的两根 ， ，满足 ，求p的值． 【答案】16．（1）证明见解析；（2） ． 【分析】 （1）把方程化成一般形式，判断判别式是非负数即可； （2）将根与系数关系定理具体化，并用两根之和，两根之积表示已知等式，整理后代入计算即可． 【详解】 （1）原方程可变形为 ． ∵ ， ∴无论p取何值此方程总有两个实数根． （2）∵原方程的两根为 、 ， ∴ ， ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握完全平方公式及其非负性，熟练用两根之和，两根之积表示已知等式是解题的关键． 练习 1．关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝5，则x1x2的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．0 2．如果关于 的一元二次方程 的两根分别为 ，那么这个一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ） A．－2 B．2 C．－1 D．1 4．若 是方程 的两个根，则代数式 的值为（ ） A．2018 B．2017 C．2016 D．2015 5．关于 的方程 的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 6．设 、 是方程 的两个根．若 ，则 ______． 7．设 、 是方程 的两个实数根，则 _____． 8．设方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1＋x2﹣x1x2的值是______． 9．已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值是________． 10．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣2006＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+3x2的值等于_______． 11．已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，求 的值． 12．关于x的一元二次方程 ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两根分为 、 ，且 ，求k的值． 13．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x13x2＋x1x23＝－48，求k的值． 14．关于 的方程 有两个不相等的实数根． （1）求 的取值范围： （2）是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 15．阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求 的值． 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1， ∴p≠ ． ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为 ﹣1＝0， 根据p2﹣p﹣1＝0和 ﹣1＝0的特征， ∴p、 是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 则p+ ，即 ． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m2﹣5m﹣1＝0， ，且m≠n，求： （1）mn的值； （2） ． 参考答案 1