22.1 一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

22.1一元二次方程 基础知识 1.一元二次方程的定义： 只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。可以说，一元二次方程的定义包含三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。三个条件缺一不可。 2．一元二次方程一般形式： 一元二次方程一般形式是： （ 是常数）。其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项， 分别是二次项、一次项的系数；各项及系数要注意包括符号。 【提醒】任何一个一元二次方程不可缺少二次项，即 ；但可以缺一次项和常数项，即 均可以为 。 3.一元二次方程的解的意义： 使一元二次方程左右两边相等的值叫做一元二次方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 【注意】①一元二次方程可以无解，但是有解就一定有两个解；②可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解，以及求待定常数。 例题 例．已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求 的值. 【答案】20 【分析】 先根据一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式进行化简得到= （a+b），再利用整体代入的方法计算； 【详解】 把x=1代入方程得a+b-40=0，即a+b=40， 所以原式= . 练习 1．下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（ ）． A． B． C． D． 2．方程 化为一元二次方程的一般形式是（　　） A．2x2﹣9x+10＝0 B．2x2﹣x+10＝0 C．2x2+14x﹣10＝0 D．2x2+3x﹣10＝0 3．方程 的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 4．关于x的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A．0 B．±3 C．3 D．－3 5．已知关于x的一元二次方程x2＋5x﹣m＝0的一个根是2，则m的值为（ ） A．7 B．9 C．14 D．16 6．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1=0的一个根，则2021﹣6a2＋2a的值是（ ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 7．若关于x的方程 是一元二次方程，则m=_____． 8．若（a﹣2）x2﹣6x+1＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为___． 9．若 是方程 一个根，则代数式 的值为________． 10．一元二次方程 的二次项系数是_________，常数项是________． 11．已知a是方程 的一个实数根，则 的值为______． 12．为解决群众看病贵的问题，某区有关部门决定降低药价，对某种原价为280元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为240元，设平均每次降价的百分率为 ，由题意可列方程__________． 13．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值． 14．已知x＝﹣1是一元二次方程 的一个根，求 的值． 15．将方程y2﹣y(﹣4y+1)=1化为一般形式（要求二次项系数为正数），写出二次项的系数，一次项和常数项． 参考答案 1．A 【分析】 本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】 解：A、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确． B、本方程的未知数的最高次数是1；故本选项错误； C、本方程的未知数的最高次数是3；故本选项错误； D、本方程不是整式方程，是分式方程；故本选项错误； 故选A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．A 【分析】 根据一元二次方程一般式的概念即可求出答案． 【详解】 解： ， ， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的概念，本题属于基础题型． 3．B 【分析】 根据一元二次方程的一般形式确定出二次项系数与一次项系数即可． 【详解】 解：方程 的二次项系数和一次项系数分别为1和 ． 故选：B． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的一般形式，且一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数且a≠0）． 4．D 【分析】 把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 5．C 【分析】 根据题意把x=2代入一元二次方程进行求解即可． 【详解】 解：由题意