21.2.3 二次根式的除法-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

21.2.2积的算术平方根 基础知识 1、二次根式的除法：二次根式除法的基本公式是： 。注意，a必须都是非负数，而b必须是正数，上式才能成立。 2、二次根式除法的基本公式可以逆用为： ；注意，a必须都是非负数，而b必须是正数，上式才能成立。 3、最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式。 4、把一个二次根式化简成最简二次根式主要有以下两种情况：①若被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后再将开得尽方的因式或因数开出来，从而将其分成最简二次根式。②若被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质将其写成分式的形式（带分数要写成假分数），再利用除法运算将其化简成最简二次根式 二次根式运算结果一定要表示成最简二次根式。 例题 例．计算： 【答案】 【分析】 根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】 解： = = 【点睛】 本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握运算法则． 练习 1．等式 成立的条件是（ ） A． B． 且 C． D． 2．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 3．估计 的值应在（ ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4． 的倒数是（　　　） A． B． C． D． 5．计算 的结果是（ ）． A．60 B．15 C．6 D．35 6．计算： _________． 7．计算 结果是_______________________． 8．计算： ＝_____． 9．若 和 都是最简二次根式，则 ________． 10．计算 的结果是____________； 11．计算： ． 12．计算： 13．计算： ． 14．计算： 15．计算： 16．小东在学习了 后，认为 也成立，因此他认为一个化简过程： EMBED Equation.DSMT4= 是正确的． （1）你认为他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程； （2）说明 成立的条件； （3）问 是否成立，如果成立，说明成立的条件． 参考答案 1．D 【分析】 根据二次根式有意义，分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】 解：根据题意得， ， ∴ ， ∴ 故选D． 【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式成立的条件是解答此题的关键． 2．C 【分析】 直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】 解： ÷ ＝ ＝ ＝ ． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 3．C 【分析】 先对二次根式进行计算，再对 进行估值即可. 【详解】 解： = ∵ ∴ 故选：C. 【点睛】 本题考查二次根式的计算，无理数的估值，正确的进行计算是关键. 4．C 【分析】 根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案． 【详解】 解： 的倒数是 ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质，利用了倒数的定义． 5．A 【解析】 解：原式= =60．故选A． 6． 【分析】 根据二次根式的除法法则运算即可． 【详解】 解：解法一， ， = ， = ， =-4． 解法二， ， = ， =-4． 故答案为：-4． 【点睛】 本题考查了二次根式的除法，可以直接被开方数相除，也可以先化简两个二次根式再相除． 7． 【分析】 根据二次根式乘除运算法则计算即可． 【详解】 解： = = = = = ． 故答案为 ． 【点睛】 本题考查了二次根式乘除运算，掌握二次根式乘除混合运算法则是解答本题的关键． 8． 【分析】 分子和分母同时乘 ，计算即可． 【详解】 解： ＝ ＝ ， 故答案为： ． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 9．1 【分析】 根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】 根据题意得： 解得 ∴ 【点睛】 此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 10． 【分析】 直接运用二次根式的除法法则进行计算即可得解. 【详解】 ， = = . 故答案为： . 【点睛】 此题主要考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 11． 【分析】 根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案. 【详解】 解：原式 【点睛】 本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法法则是解决本题的关键. 12． 【分析】 先用平方差公式化简分子，最后化简为最简二次根式即可． 【详解】 解：原式 ． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的混合运算，结果化为最简二次根式是解题的关键． 13．20． 【分析】 根据二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】 解： ， = ， = =20．